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Probe-Klassenarbeit Nr. 1

zum Kapitel Ableitung - Differentialrechnung

Ableitung mit Formeln berechnen

Berechne die Ableitung und vereinfache so weit wie möglich.

a) f( x ) = 10 \sqrt{ x }+ \frac{2}{5x}+ \frac{25}{125}

b)f(a)=ba - a^2 \cdot \frac{\pi^3}{2}

Tip

a) $\frac{a}{bc} = \frac{a}{b} \frac{1}{c} $

b) Das a wie normalerweise das x behandeln und die anderen Variablen wie Zahlen.

Lösung

a) $f'(x)=5x^{-\frac{1}{2} } - \frac{2}{5} x^{-2} $

b) $f'(a)=b - a \pi^2 $

Tangente und Normale

Es sei f gegeben mit f( x ) = x^2 + 2x.

a) Bestimme die Tangente im Punkt (3|f(3)).

b) Berechne den Punkt, in dem die Steigung 100 ist.

c) Welche Steigung haben die Geraden, die senkrecht auf der Tangente aus a) stehen?

Lösung

a)

(3|f(3))=(3|15)
t(x)=mx+c=f'(3)x+c=8x+c

Mittel Punktprobe folgt daraus $ t(x)=8x+9 $.

b)

f'(x)=100
2x+2 = 100
x = 49
(49|f(49))=(49|2499)

c)

Die Tangentensteigung ist ja 8, also haben zur Tangente senkrechte Geraden die Steigung $- \frac{1}{8} $.