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Klassenarbeit zum Thema Ableitung¶
A1. Ableitung mit Formeln berechnen [4 VP]
Berechne die Ableitung und vereinfache so weit wie möglich.
a) $ f(x) = x^4 + 2x^2 - x$
b) $ f( x ) = 2 \sqrt{ x }- \frac{5}{2x}+ \frac{25}{125}$
c) f(a)=ba - a^2 \cdot \frac{\pi^3}{2}
Tip
b) $\frac{a}{bc} = \frac{a}{b} \frac{1}{c} $
c) Das a wie normalerweise das x behandeln und die anderen Variablen wie Zahlen.
Lösung
a) $ f'(x)=4x^3+4x-1 $
b) $f'(x)=x^{- \frac{1}{2} } + \frac{5}{2} x^{-2} $
b) $f'(a)=b - a \pi^3 $
A2. Mittlere Änderungsrate [4 VP]
In der angehängten Tabelle siehst du die Entwicklung des Vermögens der weltweiten Milliardäre in Billionen US-Dollar.
a) Berechne den Differenzenquotient in den Intervallen [2000,2008] und [2010,2018].
b) Erläutere, was die beiden in a) berechneten Zahlen im Anwendungskontext bedeuten und interpretiere sie.
Lösung
a) $ \frac{4,4-0,9}{8} = 0,4375 $ und $ \frac{9,1-3,6}{8} = 0,6875 $
b) Die beiden Zahlen zeigen, um wie viel Dollar ihr Vermögen durchschnittlich, also pro Jahr, gestiegen ist. Interpretation: Das Vermögen stieg im zweiten Intervall schneller an.
A3. Momentane Änderungsrate [3 VP]
Bestimme die Ableitung der Funktion f an der Stelle x unter Verwendung des Differentialquotienten.
a) f(x) = 3x^2 - 2 \quad ; \quad x = 2
b) f(x) = -3 \quad ; \quad x = \frac{25}{1001}
Lösung
a) $ \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{3x^2-12}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(3x+6)(x-2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{3 (x+2)(x-2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (3x +6) = 12 $
b) $ \lim\limits_{x \to \frac{25}{1001}} \frac{3-(-3)}{...} = 0 $
A4. Aussagen über Tangenten und Sekanten [4 VP]
Ist die Aussage wahr oder falsch?
a) Die mittlere Änderungsrate gibt die Steigung der Tangente an.
b) Eine Sekante berührt den Graph nur in einem Punkt.
c) Bei linearen Funktionen sind die Steigungen der Tangenten an allen Stellen identisch.
d) Bei konstanten Funktionen gibt es keine Tangentensteigung.
Lösung
f, f, w, f. Beim letzten: Die Tangentensteigung ist 0, aber und ist eine Zahl, also gibt es diese Steigung.
A5. Tangente und Normale berechnen [6 VP]
Es sei f gegeben mit f( x ) = x^2 + 2x.
a) Bestimme die Tangente im Punkt (3|f(3)).
b) Berechne den Punkt, in dem die Steigung 100 ist.
c) Welche Steigung haben die Geraden, die senkrecht auf der Tangente aus a) stehen?
Lösung
a)
$ (3|f(3))=(3|15) $
$ t(x)=mx+c=f'(3)x+c=8x+c $
Mittels Punktprobe folgt daraus $ t(x)=8x+9 $.
b)
Gesucht ist ein x mit $$ f'(x)=100 $$.
$ 2x+2 = 100 $
$ x = 49 $
$ (49|f(49))=(49|2499) $
c)
Die Tangentensteigung ist ja 8, also haben zur Tangente senkrechte Geraden die Steigung $- \frac{1}{8} $.
A6. Ableitungsfunktion [6 VP]
a) Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion zu dem gegebenen Graphen der Funktion f (hier auf diesem Blatt).
b) Eine Funktion hat die folgenden Eigenschaften. Beschreibe für jede dieser Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen.
- f(1)=-2
- f'(1)=0
- f'(-2)=0
- f''(-2)<0
- f(x) \rightarrow \infty für x \rightarrow \infty
Lösung
a) Vier Nullstellen und Verlauf wie ein W gibt 2 VP.
b)
- Der Funktionswert an der Stelle 1 ist $ -2 $ .
- Die momentane Änderungsrate bei $ 1 $ ist $ 0 $. (Falsch ist die Behauptung, dass das eine Extremstelle anzeigt, da es auch eine Sattelstelle bedeuten könnte.)
- Wie eben.
- In Kombination mit dem Vorigen heißt das, dass es bei $ -2 $ einen Hochpunkt gibt.
- Die Funktionswerte werden für größer werdende $ x $ immer größer.
Das entstehende Schaubild ist z.B. ein N mit Tiefpunkt bei $ (1|-2) $ .
Tabelle zur Aufgabe 2
| Jahr | Gesamtvermögen der Milliardäre in Billionen US-Dollar |
|---|---|
| 2000 | 0,9 |
| 2001 | 1,8 |
| 2002 | 1,5 |
| 2003 | 1,4 |
| 2004 | 1,9 |
| 2005 | 2,2 |
| 2006 | 2,6 |
| 2007 | 3,5 |
| 2008 | 4,4 |
| 2009 | 2,4 |
| 2010 | 3,6 |
| 2011 | 4,5 |
| 2012 | 4,6 |
| 2013 | 5,4 |
| 2014 | 6,4 |
| 2015 | 7,1 |
| 2016 | 6,5 |
| 2017 | 7,7 |
| 2018 | 9,1 |