Probe-Klassenarbeit zum Thema Funktionsuntersuchung¶
zum Kapitel Funktionsuntersuchung
Klassische Funktionsuntersuchung
Führe eine Funktionsuntersuchung der Funktion f mit $f(x)=x^3-x^2+2 $ durch. Skizziere anschließend den Graphen der Funktion im Bereich von -2 bis 2.
Tip
- Nullstellen
- y-Achsenabschnitt
- Extrema
- Wendepunkte
- Verhalten gegen Unendlich
Lösung
- Die Nullstelle ist bei x = -1.
- Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Hochpunkt (0|2)
- Beim Berechnen des Hochpunktes die hinreichende Bedingung (bei dieser Aufgabe f''(0) \neq 0) nicht vergessen.
- (\frac{2}{3}, \frac{50}{27} )
Anwendung der Themen Steigung und Extrema
Der Temperaturverlauf eines Objektes unter dem Bunsenbrenner lässt sich durch die Funktion T mit T( t ) = 40 \sqrt{ t } + 10 beschreiben, wobei die Zeit in Minuten seit 11 Uhr und T in °C angegeben ist. Das Objekt wird 100 Minuten lang erhitzt.
a) Überprüfe mittels einer Rechnung, ob die Temperatur bei t = 16 steigt oder fällt.
b) Um wieviel Uhr hat das Objekt die geringste und wann die höchste Temperatur?
Interpretation von Graphen
In der Figur ist der Graph der Ableitungsfunktion f‘ einer ganzrationalen Funktion gegeben. Entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist und begründe deine Antwort.
a) Der Graph von f hat weniger als zwei Extrema.
b) f ist im Intervall [-4,0] streng monoton fallend.
c) $ f(1) < f(2) $
d) f‘(1) \cdot f''( -4 ) > 0
Beweis
Zeige, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt, die bei einen Sattelpunkt und bei ein Extremum hat.