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Klassenarbeit zum Thema Funktionen

A1. Funktionsbegriff, zusammengesetzte Funktionen und Relativität. [7 VP]

a) Definiere, was eine Funktion ist.

b) Ist die folgende Aussage wahr? Begründe deine Antwort, indem du die Wörter "absolut" und "relativ" bzw. "prozentual" verwendest.

Im Gymnasium X haben 5 Schüler Grippe, im Gymnasium Y haben 10 Schüler Grippe. Also gibt es im Gymnasium Y mehr Schüler mit Grippe als im Gymnasium X.

c) Gegeben sind f und g mit $ \; f(x) = 2x +1 \; $ und $ \; g(x) = 3 \cdot f(x) -1 \; $. Berechne $ g(0) $, $ g(1) $ und $ g(-a) $.

Lösung

a) Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Wert (aus dem Definitionsbereich) genau einen Wert (aus dem Wertebereich) zuordnet.

b) Betrachtet man die absoluten Zahlen, ohne sie ins Verhältnis zu ihren Grundwerten zu setzen scheint die Aussage wahr zu sein. Will man sie aber relativ zu ihren Grundwerten betrachten, fällt auf, dass diese nicht angegeben sind. Dadurch kann man weder relative noch prozentuale Werte berechnen. Ist das Gymnasium X kleiner als halb so groß wie das Gymnasium Y, wäre die Aussage falsch. Da aus Mangel an Grundwerten keine sinnvolle Aussage getroffen werden kann, ist die Aussage falsch.

c) $ g(0)=2 $, $ g(1)= 8 $ , $ g(-a)=-6a+2 $

A2. Lineare Funktionen und Geraden. [6 VP]

a) Zeichne die Gerade mit der Funktionsgleichung $ y = \frac{2}{3} x + 1 $.

b) Berechne die Funktionsgleichung der Gerade durch die Punkte P und Q mit P $ (-2|1) $ und Q $ (3|3) $ .

c) Berechne den Schnittpunkt der Geraden f und g mit $ f(x) = \frac{1}{2} x \;$ und $ \; g(x) = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} $ .

Lösung

a) Steigungsdreieck: 3 nach rechts, 2 nach oben. Y-Achsenabschnitt: 1.

b) $ m = \frac{2}{5} $, $ c = 3- \frac{6}{5} = \frac{9}{5} \Rightarrow \mathbf{ y = \frac{2}{5} x + \frac{9}{5} }$

c) Gleichsetzen, nach $ x $ auflösen, dann diese Zahl in eine Funktionsgleichung einsetzen führt zum Schnittpunkt $ (2|1) $.

A3. Verschiebung, Streckung und Stauchung von Graphen. [8 VP]

a) Wie erhält man aus dem Graphen von f mit $ f(x) = x^3 $ den Graphen von g mit $ g(x) = -2 (x+4)^3 $?

b) Wie lautet eine Funktion f, deren Graph dieselbe Form hat wie g mit $ g(x) = \frac{1}{x} $, aber um 2 nach oben und 1 nach links verschoben ist?

c) Wie unterscheidet sich der Graph von g mit $ g(x) = a \cdot f(x) $ vom Graphen von f, wenn a eine reelle Zahl ist? Gib alle Fälle an.

d) Skizziere den Graphen der Funktion f mit $ f(x) = - 2 \cdot \sqrt{x} $ .

Lösung

a) g ist im Verhältnis zu f um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, an der x-Achse gespiegelt und um vier nach links verschoben.

b) $ f(x) = \frac{1}{x+1} +2 $

c) $ a \in $

  • ( \infty ; -1 ): Streckung in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse
  • $ (-1; 0): $ Stauchung in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse
  • $ a = 0 :$ Der Graph ist die x-Achse
  • $ (a;1): $ Stauchung in y-Richtung
  • $ (1; \infty) $ Streckung in y-Richtung
A4. Verhalten gegen Unendlich. [4 VP]

a) Für welche Werte von $ a $ und $ n $ der Funktion f mit $ f(x) = ax^n + 3x^2 $ gilt:

Für $ x \rightarrow + \infty $ gilt $ f(x) \rightarrow - \infty $ und für $ x \rightarrow - \infty$ gilt $ f(x) \rightarrow - \infty $?

b) Es ist $ f(x) = x^2 $ und $ g(x) = x^3 $. Beschreibe das Verhalten der Funktion $ h(x) = f(g(x)) $ für $ x \rightarrow + \infty $ und für $ x \rightarrow - \infty $.

Lösung

a) $ a < 0 $ und $ n > 0 $ gerade natürliche Zahl.

b) $ h(x) = (x^3)^2 = x^6 $ geht also gegen Unendlich für x gegen + und - unendlich.

A5. Symmetrie bei Graphen. [2 VP]

Untersuche den Graphen von f mit $ f(x) = \frac{1}{x+2} $ auf Symmetrie.

Lösung

Beide Definitionen nachrechnen zeigt, dass f weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.