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Klassenarbeit zu Vektoren

Bitte sauber und deutlich schreiben und nicht auf den Seitenrändern.

Punkte, Achsen, Grundebenen, Spiegelungen. (1+1+1+1 = 4 VP)

a) Gib die Koordinaten des Spiegelpunktes $ A' $ an, wenn der Punkt $ A(-2|4|6) $ an der $ x_2$-Achse gespiegelt wird.

b) Gib die Koordinaten des Spiegelpunktes $ A' $ an, wenn der Punkt $ A(-2|4|6) $ an der $ x_1x_3$-Ebene gespiegelt wird.

c) Gib die Koordinaten des Spiegelpunktes $ A' $ an, wenn der Punkt $ A(-2|4|6) $ am Ursprung gespiegelt wird.

d) Berechne den Spurpunkt von $ g $ mit der $ x_2$-Achse, also den Schnittpunkt mit der $ x_2$-Achse für

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\\ 4 \\\ 2 \end{pmatrix}
Lösung

a) (2|4|-6)

b) (-2|-4|6)

c) (2|-4|-6)

d) $ x_1=x_3=0 \Rightarrow r = 1 \Rightarrow P(0|4|0)$

Linearkombination. (3 + 3 = 6 VP)

a) Gegeben sind die Vektoren $ \vec a $ durch $ A_1(1|2) $ und $ A_2(2|2) $ und $ \vec b $ durch $ B_1(-1|2) $ und $ B_2(-1|3) $. Skizziere die Vektoren $ \vec c, \vec d $ und $ \vec e $ mit

\vec c = \vec a+\vec b , \quad \vec d = 2\vec a+\vec b, \quad \vec e = \vec a-\vec b.

b) Berechne die Punkte, die die Strecke $ \overline{AB} $ dritteln, wenn $ A(1|2|3) $ und $ B(4|-5|-6) $ ist.

Lösung

a) $ \vec a = (1,0) $, $ \vec b = (0|1) $ zusammenrechnen und skizzieren.

b) $ \vec{OP_1} = \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{AB} \Rightarrow P_1 = (2|-\frac{1}{3}|0 ) $.

Mit $ \frac{2}{3} \Rightarrow P_2(3|-\frac{8}{3}|-3)$

Beweise. (4 + 3 = 7 VP)

a) Prüfe, ob das Dreieck $ ABC $ mit $ A(6|1|0) $ , $ B(2|3|0) $ und $ C(3|0|2,5) $ gleichschenklig ist.

b) Prüfe, ob die Punkte $ A $, $ B $ und $ C $ mit $ A(1|0|-2) $, $ B(0|4|0) $ und $ C(-1|8|2) $ auf einer Geraden liegen.

Lösung

a) $ |\vec{AC}| = | \vec{BC}| $

b) Zum Beispiel für alle drei Zeilen prüfen, ob $ B $ auf $ g_{AC} $ liegt; hier jeweils $ r = 1 $ .

Schnitt zweier Geraden. (3 VP)

Gegeben sind die Geraden $ g $ und $ h $ mit

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{ und } \quad h\colon \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\\ 2 \\\ 4 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\\ 1 \\\ 1 \end{pmatrix}.

Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Geraden und gib wenn vorhanden den Schnittpunkt an.

Lösung

Die Variable umbenennen, das LGS lösen, $ s = -1 $ und $ r=2 $.

Die dritte Zeile stimmt auch. Also schneiden sich die Geraden.

Durch Einsetzen folgt $ S(2|1|3) $.

Gegenseitige Lage von Geraden. (2+2= 4 VP)

Gegeben sind die Geraden $ g $ und $ h $ mit

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\\ 12 \\\ 9 \end{pmatrix} \quad \text{ und } \quad h\colon \vec x = \begin{pmatrix} a \\\ 8 \\\ 7 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\\ b \\\ 6 \end{pmatrix}.

a) Gib für $ a $ und $ b $ je eine reelle Zahl so an, dass die Geraden $ g $ und $ h $ echt parallel sind.

b) Gib für $ a $ und $ b $ die maximalen Zahlenbereiche an, für die die Geraden $ g $ und $ h $ echt parallel sind.

Lösung

Da $ 3 \cdot x = 2 $ muss $ x = \frac{2}{3} $, also $ b = 8 $.

Und da $ r \cdot 12 = 8 $ darf $ a $ nicht $ 3 $ sein.

Bewegungsaufgabe. (2+2+1 = 5 VP)

Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit vom Punkt $ A(1|2|4) $ aus los, $ 30 $ Sekunden später ist er im Punkt $ B(3|4|5) $ (Koordinaten in km).

a) Gib eine Zeit-Ort-Gleichung für das Flugzeug an (so dass man Minuten oder Sekunden einsetzen kann).

b) Berechne den Ort des Flugzeugs nach zwei Minuten.

c) Wie schnell fliegt das Flugzeug (in km/h)?

Lösung

a) Für $ t $ in Minuten hat der Richtungsvektor die Koordinaten $ (4|4|2) $. Damit die OZ-Gleichung aufstellen.

b) $ t=2 $ einsetzen ergibt $ P(9|10|8) $ .

c) $ 60 \cdot $ die Länge des obigen Richtungsvektors $ = 360 $ km/h.