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Klassenarbeit zum Thema Wahrscheinlichkeit und Anfang sin/cos.

A1. Binomialkoeffizient. [3 VP]

Geben Sie jeweils den natürlichen Wert der folgenden Binomialkoeffizienten an.

$ \binom{8}{1} $, $ \binom{12}{12} $ , $ \binom{7}{4}$

Lösung

8, 1, 35

A2. Bernoulli-Experiment. [5 VP]

Ein Fußballspieler hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75 %. Er schießt genau vier Mal. Wir nehmen an, dass das Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette modelliert werden kann. A sei das Ereignis "Er trifft genau drei Mal."

a) Begründen Sie, warum die Annahme unrealistisch ist.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er nur beim letzten Schuss trifft.

c) Geben Sie die Ergebnisse zum Ereignis A an.

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

Lösung

a) Wegen des Phänomens der Angst.

b) $ n = 4 $, $ p_t = \frac{3}{4} $. $ P(nnnt) = (\frac{1}{4})^3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{256} $

c) $ A = \lbrace(nttt),(tntt), (ttnt), (tttn)\rbrace $

d) $P(A) = 4 \cdot (\frac{3}{4})^3 \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{27}{256} = \frac{27}{64} $

A3. Bernoulli-Formel. [3 VP]

Stelle unter Verwendung der Formel von Bernoulli einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass man mit einem idealen Würfel bei acht Würfen höchstens eine Sechs wirft.

Lösung

$ m = 8 $ , $ p = \frac{1}{6} $, $ P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{8}{0} \cdot (\frac{1}{6} )^0 \cdot (\frac{5}{6} )^8 + \binom{8}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^7 $

A4. Terme interpretieren. [6 VP]

Durch Drehen eines Glücksrads mit einem roten und einem etwas kleineren grünen Feld kann ein Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette modelliert werden. Geben Sie das Ereignis in Worten an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term berechnet wird.

a) $ 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^4 $

b) $ \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3} \right)^2 $

c) Mit einem anderen Glücksrad gilt die folgende Gleichung. Geben Sie an, was man damit über das Experiment und das Glücksrad sagen kann.

$ P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^6$

Lösung

a) Es wird bei 5 Drehungen genau ein Mal Rot gedreht.

b) Es wird bei 5 Drehungen genau drei Mal Rot gedreht.

c) $ n=8, \; p_{Rot} = \frac{1}{8} \Rightarrow \alpha_{Rot}=45° $

A5. Histogramme interpretieren. [3 VP]

a) Ein Frisbeespieler hat mit Hilfe von Statistiken ein Histogramm erstellt, das ihm seine Binomialverteilung mit 20 Würfen zeigt. Im neuen Jahr stellt er fest, dass sich seine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,5 auf 0,7 erhöht hat. Beschreiben Sie, wie sich sein Histogramm dadurch verändert.

b) Ein anderer Frisbeespieler weiß, dass seine Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beträgt und dass er auf lange Sicht durchschnittlich sechs Mal trifft. Berechnen Sie die Länge der Bernoulli-Kette seiner Zufallsexperimente.

Lösung

a) Der höchste Balken (der des Erwartungswerts) verschiebt sich nach rechts, er und die Balken in seiner Nähe werden dort etwas höher und die Kurve wird dort schmaler (die Standardabweichung wird kleiner).

b) $ E(X)=np \Rightarrow n = \frac{E(X)}{p} = \frac{6}{0,2} = 30 $

A6. Trigonometie: Vorwärts. [2 VP]

Bestimmen Sie unter Verwendung des Einheitskreises näherungsweise den reellen Wert.

a) $ \sin(50°) \quad$ b) $ \cos(470°) \quad $

Lösung

a) $\sin(50°) \approx 0,766 $

b) $ \cos(470°) \approx -0,342 $

A7. Trigonometrie: Rückwärts. [2 VP]

Bestimmen Sie unter Verwendung des Einheitskreises näherungsweise die Winkel $ \alpha $ mit $ 0° \leq \alpha \leq 360° $ für die die Gleichung gilt.

a) $ \sin(\alpha) = 0,6 \quad $ b) $ \cos(\alpha) = 0,9 $

Lösung

a) $ \alpha \approx 33,87°$ und $ \alpha \approx 146°$

b) $ \alpha \approx 25,84° $ und $ \alpha \approx 334°$

Ab hier darf der TR verwendet werden.

A8. Reißnägel. [8 VP]

Ein Reißnagel wird 50 Mal geworfen. Er landet mit einer Wahrscheinlichkeit von 65 % auf dem Kopf.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Reißnagel weniger als 10 Mal auf dem Kopf landet.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Reißnagel mindestens 30 aber höchstens 40 Mal auf dem Kopf landet.

c) Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl, wie oft der Reißnagel auf dem Kopf landet.

d) Berechnen Sie die Standardabweichung der Anzahl, wie oft der Reißnagel auf dem Kopf landet.

e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Reißnagel erst beim elften Wurf auf dem Kopf landet.

f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zehn Reißnägel in Folge auf dem Kopf landen.

Lösung

$ X = $ Anzahl, wie oft der Reisnagel bei 50 Würfen auf dem Kopf landet, ist binomialverteilt mit $ n=50 $ und $ p = 0,65 $ .

a) $ P(X<10) = P(X \leq 9) \approx 0 $

b) $ P(30 \leq X \leq 40) = P(X \leq 40) - P(X \leq 29) \approx 0,7197$

c) $ E(X) = 50 \cdot 0,65 = 32,5 $

d) $ \sigma = \sqrt{40 \cdot 0,65 \cdot 0,35} \approx 3,37 $

e) $ P(zzzzzzzzzzk) = 0,35^{10} \cdot 0,65 \approx 0 $

f) Idee aber falsch: Es sei $ T \colon = kkkkkkkkkk $.

$ P(10 \text{ Reißnägel in Folge landen auf dem Kopf}) = P((Tz...), (zTz...), (zzTz...), ... , (...zT), ...) $

Die aufgeschriebenen sind 41 Ergebnisse: 40 Ergebnisse mit den z vor den T plus das erste.

$ = x \cdot 0,65^{10} \cdot 0,35^{40} \approx 0,1 (?)$ mit $ x > 41 $ .