Zum Inhalt

Dein Name: ___________________________________

Klassenarbeit zum zweiten Teil der irrationale Zahlen und dem Anfang von Parabeln

A1. Teilweises Wurzelziehen. [4 VP]

Ziehe teilweise die Wurzel.

a) $ \sqrt{20} $

b) $ \sqrt{250} $

c) $ \sqrt{99} $

d) $ \sqrt{288} $

Lösung

a) $ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

b) $ \sqrt{250} = 5 \sqrt{10} $

c) $ \sqrt{99} = 3 \sqrt{11}$

d) $ \sqrt{288} = 12 \sqrt{2}$

A2. Wurzel zeichnen. [2 VP]

Konstruiere zeichnerisch eine Strecke der Länge $ \sqrt{8} $.

Tipp: Verwende dazu zwei geeignete Quadrate.

Lösung

$ 8 = 4+4 \Rightarrow $ zwei Quadrate mit je 4 cm² zeichnen.

Also hat jedes der beiden Quadrate die Seitenlänge 2.

Die Quadrate diagonal halbieren und zusammensetzen.

Es entsteht ein größeres Quadrat, dessen Flächeninhalt 8 ist, also dessen Seitenlänge $ \sqrt{8} $ ist.

A3. Wurzelterme. [3 VP]

Vereinfache den Term.

a) $ \sqrt{6x} \cdot \sqrt{6x} $

b) $ \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2} $

c) $ \sqrt{\frac{2}{x} } \cdot \sqrt{\frac{x}{2} } $

Lösung

a) $ \sqrt{6x} \cdot \sqrt{6x} = 6x$

b) $ \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2} = x^2$

c) $ \sqrt{\frac{2}{x} } \cdot \sqrt{\frac{x}{2} } = 1$

A4. Dritte Wurzel. [2 VP]

Ziehe jeweils die dritte Wurzel aus der Zahl $ 125 $ und $ \frac{216}{1000} $.

Lösung

$ \sqrt[3]{125} = 5 $

$ \sqrt[3]{\frac{216}{1000}} = \frac{6}{10} $

A5. Hauptbegriffe zu Funktionen. [2+2+2 = 6 VP]

a) Definiere, was eine Funktion ist.

b) Bestimme zur Funktion mit der Vorschrift $ y=3x^2 $ die Funktionswerte zu den Werten $ 4 $ und $ -2 $ aus der Definitionsmenge.

c) Wie nennt man die zwei Funktionen, die als Graph eine Gerade und eine Parabel ergeben?

Lösung

a) Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Wert aus der Definitionsmenge genau einen Wert aus der (Funktions-)Wertemenge zuordnet.

b) $ f(4) = 48 $ und $ f(-2) = 12 $

c) Man nennt diese Funktionen lineare und quadratische Funktion.

A6. Normalparabel. [2+2+3 = 7 VP]

a) Wie lautet der Funktionsterm der Normalparabel mit dem Scheitel $ S(3|-7) $?

b) Der Punkt $ P(u|v) $ liegt auf dem Graphen der Funktion $ y = x^2 $. Wie ändert sich $ v $, wenn man $ u $ verdreifacht? Beweise deine Behauptung.

Lösung

a) $ f(x) = (x-3)^2-7 $

b) Aus $ f(x) = x^2 $ folgt $ v = u^2 $.

Das $ u $ zu verdreifachen heißt $ 3u $. In $ f $ eingesetzt ergibt (Klammern nicht vergessen!) $ g(x)=(3u)^2 = 9 u^2 $ also ist $ g(x) = 9v $, also wird es verneunfacht.

A7. Parabel allgemein. [4 VP]

Bestimme den Funktionsterm der Parabel mit dem Scheitel $ S(3|5) $ , die durch den Punkt $ P(5|6) $ geht.

Lösung

$ f(x) = \frac{1}{4} (x-3)^2+5$

A8. Optimierungsaufgabe. [5 VP]

Ken hat 80 Meter Maschendraht zur Verfügung und will so einen Zaun an sein 10 Meter breites Gartenhaus bauen, dass die entstehende Fläche möglichst groß ist. Rechts und links seines Gartenhauses soll gleich viel Maschendraht verbaut werden ($ c $ ). Siehe Skizze. Bestimme $ a $ und $ b $. Tipp: Wie kann man $ c $ berechnen, wenn $ b $ gegeben ist?

Lösung

$ A = a \cdot b $ und wir wollen $ b $ mit einem Term, in dem nur $ a $ vorkommen ersetzen.

Aus der Skizze entnehmen wir, aufgrund der gleichen Länge gegenüberliegender Seiten: $ b = 2c + 10 $. Das ist gleichbedeutend zu $ c = \frac{1}{2}(b-10) $.

Außerdem ist der Umfang des Vierecks $ U = 90 = 10+b+2a+2c $.

Eine dieser Gleichungen in die andere Einsetzen ergibt $ 90 = 2a+2b $ also $ b = 45-a $.

Also ist $ A (a) = a (45-a) $ mit den Nullstellen $ 0 $ und $ 45 $, und somit ist der Scheitel unserer quadratischen Funktion $ A $ in der Mitte, also bei $ 22,5 $. $ a $ und $ b $ sind also jeweils 22,5 m lang.