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Klassenarbeit zu quadratischen Funktionen und Gleichungen

A1. Gleichungen lösen. [5,5 VP]

Bestimme die Lösung der Gleichung.

a) $ x^2 - 4x - 32 = 0 $

b) $ (x-3)(x+2) = 0 $

c) $ x^2 + 5x + 2 = 5x + 51 $

d) $ 2x^2 + 3x = 0 $

Lösung

Punkteverteilung: 1,5 + 1 + 1,5 + 1,5

a) Mit der Mitternachtsformel folgt $ x_1 = -4 $ und $ x_2 = 8 $.

b) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $ x_1 = 3 $ und $ x_2 = -2 $.

c) $ x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7 $ und $ x_2 = -7 $.

d) Ausklammern, entweder wie immer x oder auch $ 2x \Rightarrow 2x (x+ \frac{3}{2} ) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ und $ x_2 = -\frac{3}{2} $.

A2. Schnittpunkte. [3,5 VP]

Berechne die Schnittpunkte der Graphen von f und g mit

$ f(x) = \frac{1}{2} (x-2)^2 + 1 \quad$ und $\quad g(x)= x+3 $.

Lösung

Gleichsetzen, Bin2, alles nach links, MF oder SvN ergibt $ x_1 = 0 $ und $ x_2 = 6 $. Beide x-Werte in f einsetzen ergibt $ N_1(0|3) $ , $ N_2(6|9) $.

A3. Bruchgleichungen lösen. [5 VP]

Löse die Gleichung.

a) $ \frac{4x}{5x+2} = 4 $

b) $ \frac{31-8x}{2-3x} = -1 $

c) $ \frac{-6x-6}{2x^2} = 1 $

d) $ \frac{12}{x-3} = 3x $

e) $ x - \frac{1}{x} + 4 = \frac{20}{x} $

Lösung

a) $ x = -\frac{1}{2} $

b) $ x = 3 $

c) Nach Multiplikation mit dem Nenner (oder vorher mit 2 kürzen) ergibt sich $ -x^2 - 3x - 3 = 0 $, was bei der MF zu einem negativen Radiant führt, also hat die Gleichung keine Lösung.

d) $ x_1 = -1 $, $ x_2 = 4 $

e) Mit x multiplizieren führt zu $ x^2 - 21 + 4x = 0$ und mit der MF zu $ x_1 = -7 $ und $ x_2 = 3 $ .

A4. Scheitelform zu Normalform. [1,5 VP]

Berechne die Normaldarstellung $ f(x) = ax^2+bx+c $ der Funktion $ \; f(x) = 3 \left( x- \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{2}{3} \; $ und vereinfache so weit wie möglich.

Lösung

Bin2, ausmultiplizieren, addieren, kürzen. $ f(x) = 3x^2 - 7x + \frac{19}{4} $

A5. Normalform zu Scheitelform. [2 VP]

Berechne die Scheitelform der Funktion $ f(x) = \frac{1}{2} x^2 + 4x + 16 $.

Lösung

$ \tilde{f} = \frac{1}{2} x^2 + 4x $ hat Nullstellen bei $ x_1 = 0 $ und $ x_2 = -8 $ , die Mitte ist also bei $ x = -4 $ , $ f(-4)=8 $, der Streckungsfaktor bleibt gleich, also $ f(x) = \frac{1}{2} (x+4)^2+8 $ .

A6. Zentrische Streckung. [3 VP]

Das Dreieck $ ABC $ mit $ A(1|2) $, $ B(3|3) $ und $ C(2|4) $ wird am Punkt $ Z(2|2,5) $ mit dem Faktor $ k = 2 $ zentrisch gestreckt. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte mithilfe einer Zeichnung.

Lösung

Einzeichnen 1, strecken 1,5 ablesen 0,5.

$ A'(0|1,5) $ , $ B'(4|3,5) $ , $ C'(2|5,5) $

A7. Streckenlängen bestimmen. [4,5 VP]

a) Berechne wie lang ein 2 km langer Weg auf einer Karte mit dem Maßstab $ 1:5000 $ ist.

b) Bestimme die fehlenden Kantenlängen der folgenden Dreiecke, die ähnlich zueinander sind. Tipp: Du darfst verwenden, dass ein Winkel 90° beträgt.

Lösung

Punkteverteilung: 1,5 + 3

a) $ 2 \cdot 1000 \cdot \frac{1}{5000} = \frac{2}{5} = 0,4 $ m = $ 40 $ cm.

b) Aus dem Satz von Pythagoras folgt $ a_1 = 7 $.

Damit ist $ k = 4 $,

Also ist $ b_2 = b_1 \cdot 4 = 45 $ und $ c_2 = 53 $.

Bemerkung: (28,45,53) ist ein pythagoreische Tripel.

Geogebra-Quelle der Figur