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Klassenarbeit zu Potenz- und Exponentialfunktionen

A1. Funktion allgemein. [1+1+2 = 4 VP]

Gegeben ist $ f(x) = 3x^2+x-2 $

a) Wie nennt man das was gegeben ist?

b) Berechne $ f(2) $.

c) Bestimme zwei Werte, bei denen der Funktionswert $ 0 $ ist.

Tip

c) Was ist die Mathematisierung? Zum Ausrechnen brauchst du eine Formel, die man für quadratische Gleichungen immer anwenden kann.

Lösung

a) Funktionsterm einer einer quadratischen Funktion bzw. Potenzfunktion.

b) $ f(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 12 $.

c) Gesucht sind zwei $ x $ mit $ f(x) = 0 $.

$ 3x^2+x-2 = 0 $. Mit der Mitternachtsformel folgt $ x_1 = \frac{-1+5}{6} = \frac{2}{3} $ und $ x_2 = -1 $.

A2. Potenzfunktionen. [3+3+2 = 7 VP]

a) Eine Funktion $ f $ mit $ f(x)=ax^n $ verläuft durch $ A(1|\frac{1}{2} ) $ und $ B(2|8) $. Bestimme $ a $ und $ n $ .

b) Beschreibe wie der Graph $ g(x)=3(x+1)^4 $ aus dem Graphen von $ f $ mit $ f(x)=x^4 $ entsteht und skizziere ihn.

c) Löse die Gleichung $ x^4 - 11 = 70 $.

Lösung

a) Gesucht sind $ a $ und $ n $, sodass für $ f(x)=ax^n $ zwei Gleichungen gelten: $ f(1) = \frac{1}{2} $ und $ f(2)=8 $.

Aus Ersterem folgt direkt $ a = \frac{1}{2} $, da $ 1^n = 1 $.

Eingesetzt in das Zweitere ergibt $ f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^n = 8 $ und durch Multiplizieren mit $ 2 $ ist das äquivalent zu $ 2^n = 16 $, was offenbar für $ n = 4 $ wahr ist.

Also ist $ f(x) = \frac{1}{2} x^4 $.

b) $ g $ ist bezüglich $ f $ um 1 nach links verschoben und in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt.

c) Plus $ 11 $ und das Ziehen der 4. Wurzel ergibt $ x_1 = 3 $ und $ x_2 = -3 $.

A3. Exponentialfunktionen. [2+2 = 4 VP]

a) Bestimme eine Exponentialfunktion, deren Graph durch die Punkte $ A(0|2) $ und $ B(1|4) $ verläuft.

b) Bestimme eine Exponentialfunktion, deren Graph durch die Punkte $ A(1|2) $ und $ B(2|8) $ verläuft.

Lösung

a) Gesucht sind $ a $ und $ c $ für $ f(x) = ac^x $, sodass $ f(0)=2 $ und $ f(1) = 4 $.

Da $ c^0 = 1 $ ist $ a = 2 $.

Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt $ 2 \cdot c^1 = 4 $ also $ c = 2 $.

Also $ f(x) = 2 \cdot 2^x $.

b) Gesucht sind $ a $ und $ c $ für $ f(x) = ac^x $, sodass $ f(1)=2 $ und $ f(2) = 8 $.

$ a \cdot c^1 = 2 \Rightarrow c = \frac{2}{a} \quad (\star)$

Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt $ f(2) = a (\frac{2}{a})^2 = 8 $. Die Potenz nach innen ziehen, kürzen, mit $ a $ multiplizieren und durch $ 8 $ teilen ergibt $ a = \frac{1}{2} $.

Das eingesetzt in $ (\star) $ ergibt $ c= 4 $.

Also $ f(x) = \frac{1}{2} 4^x $.

A4. Logarithmus. [1+2 =3 VP]

Bestimme den Wert des Logarithmus von a) $ \log_4(64) $ und b) $ \log((0,01)^{\frac{1}{3} }) $.

Lösung

a) $ x = \log_4(64) \Leftrightarrow 4^x = 64$. Also $ x = 3 $ .

b) $ x = \log((0,01)^{\frac{1}{3} }) \Leftrightarrow 10^x = 0,01^{\frac{1}{3} }$.

Da $ 0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2} $ ist, verändert sich die Gleichung zu $ 10^x = 10^{\frac{-2}{3} } $. Also ist $ x = - \frac{2}{3} $.

A5. Exponentialgleichungen. [2+2+ 2+2+1 = 9 VP]

a) Löse die Gleichung $ 6^{2x-5} \cdot 4 = \sqrt {80} $.

b) Löse die Gleichung $ 5 \cdot \frac{1}{2^x} - 3 \cdot 4^{x+2} = 0 $.

Die Anzahl Mathe-Fans in Deutschland nimmt jährlich um 2 % ab. Sagen wir im Jahre 2019 gibt es in Deutschland 10 Mio. Mathe-Fans.

c) Berechne wie viele Mathe-Fans es in 20 Jahren in Deutschland gibt.

d) Berechne ab welchem Jahr es nur noch eine Mio. Mathe-Fans geben wird.

e) Berechne die "Halbwertszeit der Mathematik".

Lösung

a) Zuerst durch $ 4 $ teilen. Dann die Definition anwenden (den "Logarithmus ziehen") ergibt $ 2x-5 = \log_6 (\frac{\sqrt{80}}{4} ) $. Das ist übrigens dasselbe wie $ 2x-5 = \log_6 (5) $ (z.B. durch teilweises Wurzelziehen).

Addition mit $ 5 $ und Halbieren ergibt $ x \approx 2,72$.

b) Wenn die gesuchte Variable im Nenner ist, will man die da immer erst mal weg haben. In diesem Fall multipliziert man das $ 2^x $ aus dem Nenner weg; es ergibt sich $ 5 - 3 \cdot 4^{x+2} \cdot 2^x = 0 $. Um die Potenzen zusammen rechnen zu können, müssen sie die gleiche Basis haben, daher wendet man $ 4 = 2^2 $ an. Mit Potenzregeln (Potenzen potenzieren) erhält man $ (2^2)^{x+2} = 2^{2x+4}$. Jetzt kann man die beiden 2er-Potenzen zusammenrechnen zu $ 2^{3x+4} $. Insgesamt gilt also die Gleichung $ 5 - 3 \cdot 2^{3x+4} = 0 $. Jetzt weiter wie in a) $ 2^{3x+4} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 3x+4 = \log_2(\frac{5}{3}) $. Also ist $ x = \frac{\log_2(\frac{5}{3}) -4}{3} \approx -1,0877$.

c) Gegeben ist $ f(x) = 10 000 000 \cdot 0,98^x $.

$ f(20)=10 000 000 \cdot 0,98^{20} \approx 6676080 $.

d) Gesucht ist $ x $, sodass $ f(x)=1 000 000 $.

$ 10 000 000 \cdot 0,98^x = 1 000 000 $ durch 10 Mio. teilen ergibt $ 0,98^x = \frac{1}{10} \Leftrightarrow x = \log_{0,98}(0,1) \approx 114 $. Also gibt's nur noch 1Mio. Mathe-Fans ab dem Jahr $ 2019+114 = 2133 $.

e) Gesucht ist $ T_H $ sodass $ f(x + T_H) = \frac{1}{2} f(x) $. $ T_H =\log_0,98 (\frac{1}{2} ) \approx 34,31 $ [Jahre].