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Probeklausur zum ersten Kapitel (Ableitung)

A1. Tangentensteigungen.

a) Bestimme mithilfe der Tangente in A $ f'(-\frac{1}{2} ) $ .

b) Zeichne eine Tangente im Punkt B ein und bestimme damit näherungsweise $ f'(2,5) $.

c) Zeichne eine Tangente im Punkt c ein und bestimme damit näherungsweise $ f'(2) $.

A2. Ableitung mit Formeln berechnen.

Berechne die Ableitung und vereinfache so weit wie möglich.

a) $ f( x ) = 2 \sqrt{ x }- \frac{5}{2x}+ \frac{25}{125}$

b) $ f(x) = (3x-1)^{10} $

c) $ f(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \sqrt{x} $

d) $ f(x) = \frac{1}{4} x^4 \cdot \cos(4x-1) $

Lösung

a) $f'(x)=x^{- \frac{1}{2} } + \frac{5}{2} x^{-2} $

b) $ 30 (3x-1)^9 $ (Kettenregel)

c) $ f'(x) = -2x^-3 \sqrt{x} + x^-2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} }$ (Produktregel) oder erst mit Potenzregeln $ f(x) = x^{-\frac{3}{2} } $ und dann $ f'(x) = - \frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2} } $.

d) $ f'(x) = x^3 \cos(4x-1) - x^4 \sin (4x-1) $ (Produktregel mit Kettenregel)

A3. Aussagen über Tangenten und Sekanten.

Ist die Aussage wahr oder falsch?

a) Die mittlere Änderungsrate gibt die Steigung der Tangente an.

b) Eine Sekante berührt den Graph nur in einem Punkt.

c) Bei linearen Funktionen sind die Steigungen der Tangenten an allen Stellen identisch.

d) Bei konstanten Funktionen gibt es keine Tangentensteigung.

Lösung

f, f, w, f. Beim letzten: Die Tangentensteigung ist 0, aber und ist eine Zahl, also gibt es diese Steigung.

A4. Tangente und Normale berechnen.

Es sei f gegeben mit f( x ) = x^2 + 2x.

a) Bestimme die Tangente im Punkt (3|f(3)).

b) Berechne den Punkt, in dem die Steigung 100 ist.

c) Welche Steigung haben die Geraden, die senkrecht auf der Tangente aus a) stehen?

Lösung

a)

$ (3|f(3))=(3|15) $

$ t(x)=mx+c=f'(3)x+c=8x+c $

Mittels Punktprobe folgt daraus $ t(x)=8x+9 $.

b)

Gesucht ist ein x mit $$ f'(x)=100 $$.

$ 2x+2 = 100 $

$ x = 49 $

$ (49|f(49))=(49|2499) $

c)

Die Tangentensteigung ist ja 8, also haben zur Tangente senkrechte Geraden die Steigung $- \frac{1}{8} $.

A5. Ableitungsfunktion.

a) Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion zu dem gegebenen Graphen der Funktion f (hier auf diesem Blatt).

b) Eine Funktion hat die folgenden Eigenschaften. Beschreibe für jede dieser Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen.

  • f(1)=-2
  • f'(1)=0
  • f'(-2)=0
  • f''(-2)<0
  • f(x) \rightarrow \infty für x \rightarrow \infty

c) Geben Sie die Monotoniebereiche der obigen Funktion an und anschließend das Krümmungsverhalten.

Lösung

a) Vier Nullstellen und Verlauf wie ein W.

b)

  • Der Funktionswert an der Stelle 1 ist $ -2 $ .
  • Die momentane Änderungsrate bei $ 1 $ ist $ 0 $. (Falsch ist die Behauptung, dass das eine Extremstelle anzeigt, da es auch eine Sattelstelle bedeuten könnte.)
  • Wie eben.
  • In Kombination mit dem Vorigen heißt das, dass es bei $ -2 $ einen Hochpunkt gibt.
  • Die Funktionswerte werden für größer werdende $ x $ immer größer.
  • Das entstehende Schaubild ist z.B. ein N mit Tiefpunkt bei $ (1|-2) $ .

c)

  • Monotonie: von T zu H usw.
  • Krümmungen von WP zu WP ...

A6. EP und WP.

Gegeben ist die Funktion f mit $ f(x) = x^3-6x^2 + 24 $ .

Berechnen Sie exakt die Extremstellen und die Wendestellen der Funktion f.

Lösung

$ f'(x)=0 $ führt mit dem Satz vom Nullprodukt zu $ x_1 = 0 $ und $ x_2 = 4 $ . Nicht vergessen $ f''(0) $ und $ f''(4) $ zu berechnen, um zu verifizieren, dass beides nicht 0 ist.

$ f''(x)=0 $ führt zu $ x = 2 $ und da $ f'''(2) = 6 $ also nicht 0 ist, ist hier eine Wendestelle.