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Klausur zum Thema Vektoren

A1. Gerade erstellen. [2 VP]

Geben Sie zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden g und h an, auf denen die Punkte A(1|2|3) und B(3|0|-3) liegen.

Lösung

Z.B. als Stützvektor AB und als Ortsvektor einmal A und einmal B.

A2. Wahr oder falsch. [6 VP]

Ist die Aussage wahr oder falsch. Begründe deine Behauptung.

a) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden keine Vielfachen voneinander sind, dann schneiden sich diese Geraden.

b) Wenn zwei Gerade keine gemeinsamen Punkte haben, dann sind sie zueinander windschief.

c) Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.

d) Alle Beträge von Normalenvektoren einer Ebene sind gleich groß.

e) Die Spannvektoren und Normalenvektoren einer Ebene stehen immer orthogonal zueinander.

f) Jede Ebene hat mindestens zwei Spurgeraden.

Lösung

a) F. Beispiel mit zwei Geraden und unterschiedlichen Ri.vek., die windschief sind.

b) F. ... oder parallel. Bsp.

c) W. Da alle orthogonal auf E stehen, zeigen sie in dieselbe Richtung.

d) F. Zwei Normalenvektoren, die Vielfache voneinander sind haben unterschiedliche Beträge.

e) W. Laut Definitionen.

f) F. Bsp. für nur eine oder eine.

A3. Schnitt von Geraden. [2 VP]

Geben Sie a, b, c und d so an, dass die folgenden Geraden sich schneiden.

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\\ a \\\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} b \\\ 2 \\\ 4 \end{pmatrix}
h\colon \vec x = \begin{pmatrix} c \\\ 1 \\\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\\ 1 \\\ d \end{pmatrix}

Lösung

Punktprobe. r=1 a=-1 z.B. b=6 und c=8, d nicht 2, z.B. 1

A4. Koordinatengleichung bestimmen. [2 VP]

Gegeben sind die Gerade g und der Punkt P. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zu g liegt und den Punkt $P(5|1|9) $ enthält.

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\\ -1 \\\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\\ 3 \\\ -2 \end{pmatrix}

A5. Ebene zeichnen. [3 VP]

Zeichnen Sie die Ebene E mit E: $ 3x_1 + 4x_2 = 12 $.

Lösung

S(4,0,0) und (0,3,0) senkrecht, nach oben offen.

A6. Lage von g zu E. [2 VP]

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g zu E und berechnen Sie gegebenenfalls den Durchstoßpunkt oder Abstand.

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ -1 \\\ 1 \end{pmatrix}
E: 2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 5

Lösung

D(2,5|1,5|1,5)

A7. Lage zweier Ebenen zueinander. [3 VP]

Die Wände eines Schulgebäudes liegen in den Ebenen E: $ 2x_1-x_2+3x_3 = 7 $ und F: $ -3x_1 + 2 x_3 = 6 $.

a) Zeigen Sie, dass diese Wände orthogonal zueinander stehen.

b) Eine dritte Wand ist eine Ebene mit der Bezeichnung G, enthält den Punkt P(1|4|3) und ist orthogonal zu E und F. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene G.

Lösung

Skalarprodukt = 0. Kreuzprodukt = (-2,-13,-3) Punktprobe bei positiven Koordinaten liefert d = 63

A8. Abstand P zu g. [4 VP]

Gegeben sind ein Punkt P mit P(1|2|3) und eine Gerade g mit

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ -1 \\\ 2 \end{pmatrix}

Bestimmen Sie den Abstand von P zu g und den Lotfußpunkt L.

Lösung

$ L(1,0,2) abst(P,L) = \sqrt(5) $

A9. Spiegelung und Symmetrie. [2 VP]

Spiegeln Sie den Punkt P(4|-3|7) an der Ebene E mit E: $ x_1 + x_2 - x_3 + 9 = 0 $ .

Lösung

$ (2,-5,9) $

A10. Winkel. [2 VP]

Gegeben sind die folgenden Geraden g und h. Berechnen Sie den Schnittwunkel der Geraden g und h.

g\colon \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{pmatrix}
h\colon \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\\ 2 \\\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\\ 5 \\\ 6 \end{pmatrix}

Lösung

Ca. 33,9°