Die eulersche Zahl e¶
Als eulersche Zahl e bezeichnen wir die Reihe
e := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}
Konvergenz
$ s_{n+1} > s_n $ ist klar. Den Beweis der Beschränktheit kann man auf S. 92 nachlesen.
Auf derselben Seite beginnt der Beweis dass der Grenzwert derselbe ist wie der der Folge
e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
Die Exponentialfunktion¶
Wir wollen eine Funktion $ e(x) $ definieren, für die $ e(1) = e $ gilt:
e(x) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^k
Das ist also eine Potenzreihe.
Eigenschaften der e-Funktion¶
- (e(x))' = e(x)
- $ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $ (Additionstheorem genannt)
- $ (e^x)^y = e^{xy} $
- Die e-Funktion ist schneller als jede Potenzfunktion
e' = e
Rechne die erste Eigenschaft nach.
Tip
Bei der Fakultät das $ k $ heraus ziehen.