Zum Inhalt

Die eulersche Zahl e

Als eulersche Zahl e bezeichnen wir die Reihe

e := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}

Konvergenz

$ s_{n+1} > s_n $ ist klar. Den Beweis der Beschränktheit kann man auf S. 92 nachlesen.

Auf derselben Seite beginnt der Beweis dass der Grenzwert derselbe ist wie der der Folge

e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Die Exponentialfunktion

Wir wollen eine Funktion $ e(x) $ definieren, für die $ e(1) = e $ gilt:

e(x) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^k

Das ist also eine Potenzreihe.

Eigenschaften der e-Funktion

  • (e(x))' = e(x)
  • $ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $ (Additionstheorem genannt)
  • $ (e^x)^y = e^{xy} $
  • Die e-Funktion ist schneller als jede Potenzfunktion

e' = e

Rechne die erste Eigenschaft nach.

Tip

Bei der Fakultät das $ k $ heraus ziehen.