Komplexe Zahlen¶
Kerngebiete der Mathematik¶
- Logik
- Analysis
- Differentialrechnung in $ \mathbb{R} $
- Funktionentheorie
- Algebra
- Komplexe Zahlen (Körper)
- Lineare Algebra (Räume)
- Topologie
Körper¶
Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen ($ + $ und $ \cdot $ ), für die die folgenden Eigenschaften gelten:
- $ (K, +) $ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element.
- $ (K \backslash{0}) $ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element.
- Es gilt das Distibutivgesetz.
Dass eine Menge eine abelsche Gruppe ist, bedeutet dass mit der jeweiligen Verknüpfung das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz gilt und zudem für jedes Element ein inverses Element existiert. Ein Körper muss also neun Axiome zu erfüllen.
Körper der komplexen Zahlen¶
Wir definieren für reelle Tupel eine Addition und eine Multiplikation wie folgt:
$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \colon = \begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \colon = \begin{pmatrix} ac-bd \\ ad+bc \end{pmatrix} $
Das ergibt einen Körper, den man $ \mathbb{C} $ nennt.
Bemerkungen¶
Für $ b = d = 0 $ reduziert sich dieser Körper auf $ \mathbb{R} $ .
Das multiplikative neutrale Element ist $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $.
Wofür die komplexen Zahlen berühmt sind¶
In diesem Körper kann man die Gleichung $ z^2 = -1 $ gleich mit zwei Zahlen lösen.
Diese Zahlen nennt man $ \mathrm i $ und $ -\mathrm i $:
$ \mathrm i\cdot \mathrm i : = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -1$
Analog mit $ -\mathrm i := \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} $.
Übliche Darstellung¶
Mit dem so definierten $ \mathrm i $ kann die Tupel-Schreibweise vermeiden:
$ \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Also gilt:
$ z = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a + b \mathrm i$
Daher kommt die übliche Schreibweise: $ \mathbb{C} = \lbrace z = a+b \mathrm i\: |\; a,b \in \mathbb{R}\rbrace $ .
Multiplikation komplexer Zahlen
Multipliziere in der neuen Schreibweise zwei komplexe Zahlen und schreibe das Ergebnis wieder in der neuen Schreibweise.
Lösung
$ (a+b\mathrm i)(c+d\mathrm i)=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm i $
Multiplikatives Inverses¶
Wir wollen das multiplikative Inverse $ \frac{1}{a+b \mathrm i} $ nennen.
Multiplikatives Inverses Teil 1
Berechnen Sie eine Darstellung des multiplikativen Inversen, in der im Nenner keine komplexe Zahl vorkommt.
Tip
Erweitere den Bruch so, dass du Bin3 anwenden kannst.
Lösung
$ \frac{a-b \mathrm i}{a^2 + b^2} $
Zur $ 0 $¶
$ a \cdot 0 = 0 $
Zeigen Sie, dass $ a \cdot 0 = 0 $ gilt.
Warning
Sie dürfen nur die Körperdefinitionen verwenden!
Tip
$ 0 = 0+0 $
Lösung
$ a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0 $
Jetzt kann man auf beiden Seiten $ -a \cdot 0 $ rechnen, weil es zu $ a \cdot 0 $ ein additives Inverses gibt.