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Komplexe Zahlen

Kerngebiete der Mathematik

  1. Logik
  2. Analysis
    • Differentialrechnung in $ \mathbb{R} $
    • Funktionentheorie
  3. Algebra
    • Komplexe Zahlen (Körper)
    • Lineare Algebra (Räume)
  4. Topologie

Körper

Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen ($ + $ und $ \cdot $ ), für die die folgenden Eigenschaften gelten:

  1. $ (K, +) $ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element.
  2. $ (K \backslash{0}) $ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element.
  3. Es gilt das Distibutivgesetz.

Dass eine Menge eine abelsche Gruppe ist, bedeutet dass mit der jeweiligen Verknüpfung das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz gilt und zudem für jedes Element ein inverses Element existiert. Ein Körper muss also neun Axiome zu erfüllen.

Körper der komplexen Zahlen

Wir definieren für reelle Tupel eine Addition und eine Multiplikation wie folgt:

$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \colon = \begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \colon = \begin{pmatrix} ac-bd \\ ad+bc \end{pmatrix} $

Das ergibt einen Körper, den man $ \mathbb{C} $ nennt.

Bemerkungen

Für $ b = d = 0 $ reduziert sich dieser Körper auf $ \mathbb{R} $ .

Das multiplikative neutrale Element ist $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $.

Wofür die komplexen Zahlen berühmt sind

In diesem Körper kann man die Gleichung $ z^2 = -1 $ gleich mit zwei Zahlen lösen.

Diese Zahlen nennt man $ \mathrm i $ und $ -\mathrm i $:

$ \mathrm i\cdot \mathrm i : = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -1$

Analog mit $ -\mathrm i := \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} $.

Übliche Darstellung

Mit dem so definierten $ \mathrm i $ kann die Tupel-Schreibweise vermeiden:

$ \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Also gilt:

$ z = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a + b \mathrm i$

Daher kommt die übliche Schreibweise: $ \mathbb{C} = \lbrace z = a+b \mathrm i\: |\; a,b \in \mathbb{R}\rbrace $ .

Multiplikation komplexer Zahlen

Multipliziere in der neuen Schreibweise zwei komplexe Zahlen und schreibe das Ergebnis wieder in der neuen Schreibweise.

Lösung

$ (a+b\mathrm i)(c+d\mathrm i)=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm i $

Multiplikatives Inverses

Wir wollen das multiplikative Inverse $ \frac{1}{a+b \mathrm i} $ nennen.

Multiplikatives Inverses Teil 1

Berechnen Sie eine Darstellung des multiplikativen Inversen, in der im Nenner keine komplexe Zahl vorkommt.

Tip

Erweitere den Bruch so, dass du Bin3 anwenden kannst.

Lösung

$ \frac{a-b \mathrm i}{a^2 + b^2} $

Zur $ 0 $

$ a \cdot 0 = 0 $

Zeigen Sie, dass $ a \cdot 0 = 0 $ gilt.

Warning

Sie dürfen nur die Körperdefinitionen verwenden!

Tip

$ 0 = 0+0 $

Lösung

$ a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0 $

Jetzt kann man auf beiden Seiten $ -a \cdot 0 $ rechnen, weil es zu $ a \cdot 0 $ ein additives Inverses gibt.