Die komplexe e-Darstellung (Polarform)¶
e-Darstellung
Für die komplexe e-Zahlen setzen wir in die Definition der Exponentialfunktion für x einen Imaginärteil ein, also \varphi \mathrm i.
Taylorreihen von sin und cos
Die Entwicklung der Taylorreihen ist auf S. 139 vorgerechnet.
Eulersche Identität
Buch S. 248
Beispiele
Stelle $ z = 3 \sqrt 3 + 3 \mathrm i $ (s.o.) als komplexe e-Darstellung dar.
Lösung
$ 6 (\cos \frac{\pi}{6} + \mathrm i \sin \frac{\pi}{6} ) = 6 e^{i \frac{\pi}{6} } $
Stelle $ z = 1 + \mathrm i $ als komplexe e-Darstellung dar.
Lösung
$ 1+ \mathrm i = \sqrt 2 e^{\mathrm i \frac{\pi}{4} } $
Stelle $ \sqrt 2 + \sqrt 2 \mathrm i$ als komplexe e-Darstellung dar.
Lösung
r=2. Da \tan \varphi \; 1 ist und die Zahl im ersten Quadranten liegt, folgt $\varphi = \frac{\pi}{4} $. Also ist die Zahl 2 e^{\frac{\pi}{4} \mathrm i}.
Eulersche Identität mit $ \pi $
Berechne $ e^{\pi \mathrm i} $ mit Hilfe der eulerschen Identität.
Schöner Zusammenhang zwischen den fünf wichtigsten Zahlen.
$ z= \cos \pi + \mathrm i \sin \pi $ bedeutet $ \varphi = \arg z = \pi $, da $\cos \pi = -1 $ und $\sin \pi = 0 $ ist $a=r \cos \pi = -1 $ und $b = r \cos \pi = 0 $, was anschaulich einen Betrag von 1 nach links bedeutet, also z = -1. Dadurch ergibt sich:
Ich nenne die Zahlen in der Form e^{\mathrm i \varphi} e-Darstellung, obwohl sie offiziel Polarform heißt. Die Form r \cdot (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi) nenne ich Darstellung mit Polarkoordinaten.
Die Formel von de Moivre¶
Die Formel von de Moivre
Beweise mit Hilfe der eulerschen Identität die Formel von de Moivre.
(\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + \mathrm i \sin n \varphi
Doppelwinkelformeln
Beweise mit Hilfe der Formel von de Moivre für den Fall n=2
$\sin 2 \varphi = 2 \cos \varphi \sin \varphi $
Welche zweite Formel hast du damit auch bewiesen?
Tip
Den Term für n=2 kann man auch mit einer sehr bekannten anderen Formel ausrechnen, die man ganz oft als "Trick" benötigt. Dann kann man einen "Koeffizientenvergleich" durchführen: den Real- und Imaginärteil vergleichen.
Geometrische Deutung der komplexen Multiplikation¶
Multiplikation in der gaußschen Ebene.
Multipliziere zwei komplexe Zahlen in e-Darstellungen und forme so weit um, bis wieder eine e-Darstellung da steht. Interpretiere dann mit Hilfe von zwei Pfeilen, was bei der Multiplikation geometrisch in der gaußschen Ebene passiert.
Lösung
Beträge werden multipliziert, Winkel addiert.