Quadratwurzel und Quadratische Gleichungen¶
Die komplexe Quadratwurzel¶
Unter der komplexen Quadratwurzel von z verstehen wir die Zahlen(!), die die Gleichung w^2 = z lösen.
Wurzel in anderen Darstellungsformen
Berechne die komplexen Wurzel von \mathrm i (u.a. durch Vergleich von Real- und Imaginärteilen) in die Darstellung mit Polarkoordinaten und in e-Darstellung um. Also
w^2 = i mit w = x + y \mathrm i.
Tip
Für die e-Darstellung muss man \mathrm i in e-Darstellung schreiben: $ i = e^{\frac{\pi}{2} \mathrm i } $.
Lösung
w = +- \frac{1+\mathrm i}{\sqrt 2}
w = +- e^{\frac{\pi}{4 }\mathrm i}
Geometrische Bedeutung
Die Wurzel zieht man also durch Ziehen der Wurzel aus der Länge und dem Halbieren des Winkels.
Definition
Unter \sqrt z definieren wir die erste Lösung der Gleichung w^2 = z.
Also gilt $ \sqrt {\mathrm i} = e^{\frac{\pi}{4} \mathrm i}$
Beispiel
$ z = \sqrt {5+12 \mathrm i} $
Berechne die Darstellung mit Polarkoordinaten, um zur klassischen Schreibweise zu kommen.
Tip
Der Betrag von z ist 13. Der Winkel ca. 67°. Das kann man in die Polarform einsetzen, was praktisch ist, weil man jetzt die Wurzel aus dem Produkt ziehen kann. Das jetzige e kann man wieder in der Darstellung mit Polarkoordinaten umschreiben.
Lösung
\sqrt 13 (\cos 34° + \mathrm i 34°) = 3+ 2 \mathrm i