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Polarkoordinaten

Zu einem Ortsvektor in der gaußschen Zahlenebene kann man einen Winkel $ \varphi $ definieren; diesen Winkel $ \varphi $ nennt man Argument von z. Die Länge des Vektors nennen wir $ r = |z|$. Mit diesen beiden Zahlen kann man jede komplexe Zahl (außer 0) darstellen, man spricht beim Paar $ (r, \varphi) $ von Polarkoordinaten.

Zusammenhang mit der üblichen Darstellung

Drücke $ a $ und $ b $ für $ z = a + b \mathrm i $ mit Polarkoordinaten aus.

Lösung

$ a = r \cos \varphi \quad $ und $ \quad b = r \sin \varphi $

Drücke damit $ z = a + b \mathrm i $ aus.

Lösung

$ z = r(\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi) $

Beispiele

Berechne $ (2, \frac{\pi}{3} ) $.

Lösung

$ 1 + \sqrt 3 \mathrm i $

(Die Maße für $ \frac{\pi}{3} $ bekommt man über Symmetrie-Eigenschaften am Einheitskreis wie Gleichseitigkeit und Satz des Pythagoras.)

Berechne $ z = \sqrt 2 + \sqrt 2 \mathrm i $.

Tip

Mit dem Tangens geht's schneller als allein mit den Definitionen von $ a $ und b.

Lösung

$ \tan(\varphi) = 1 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{4} $ . (Der zweite Winkel ist's nicht.) $ \Rightarrow z = 2 (\cos \frac{\pi}{5} + \mathrm i \sin \frac{\pi}{4} ) $.

Berechne $ z = i $ und $ z = 1 $. Dann $ z = 3 - \sqrt 3 \mathrm i $ und $ z = 3 \sqrt 3 + 3 \mathrm i $

zum Vorletzten

$ 270° < \arg z < 360° $ und die Periode von $ \tan $ ist $ \pi $ .

Lösungen

Das Vorletzte: $ \tan -30° = \tan 330° \Rightarrow z = 2 \sqrt 3 (\cos 330° + \mathrm i \sin 330°)$

Das Letzte: $ 6 (\cos \frac{\pi}{6} + \mathrm i \sin \frac{\pi}{6} ) $