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Rechnen mit komplexen Zahlen

Multiplikation und Division

Rechnen mit komplexen Zahlen

Berechne

a) $ \frac{1}{\mathrm i} $

a) $ (4+5 \mathrm i)(3+ \mathrm i) $

b) $ \frac{17-11 \mathrm i}{3+\mathrm i} $

c) $ \frac{1+\mathrm i}{1 - \mathrm i} $

d) $ \mathrm i^3 $

Tip

Bei b) Bin3 verwenden.

Lösung

a) $ \frac{1}{\mathrm i} = \frac{\mathrm i}{\mathrm i^2} = -\mathrm i $

a) $ 17 - 11 \mathrm i $

b) $ 4-5 \mathrm i $

c) Erweitern mit $ (i+1) $ ergibt $ i $.

d) $ -\mathrm i$

Komplexe Konjugation

Dreht man das Vorzeichen beim imaginären Teil um, spricht man von konjugieren. Die konjugiert komplexe Zahl von $ z = a+ b \mathrm i $ schreibt man

$ \overline z : = a - b \mathrm i $.

Reelle konjugiert komplexe Zahlen

Was ist die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl?

Lösung

$ \overline z = z $

Es gibt einige Sätze zur komplexen Konjugation. Erwähnt sei hier nur:

$ \overline {z+w} = \overline z + \overline w $

$ z \cdot \overline z = a^2 + b^2 $

Betrag

Man definiert den Betrag einer komplexen Zahl als

$ |z| := \sqrt {z \cdot \overline z} $.

Also gilt $ |z|^2 = z \cdot \overline z $ .

Betrag für reelle Zahlen

Zeige, dass für reelle Zahlen nach wie vor der übliche Betragsbegriff gilt.

Lösung

$ z = a \Rightarrow |z| = \sqrt {a^2 }$

Multiplikatives Inverses Teil 2

Stelle das multiplikative Inverse aus Teil 1 unter Verwendung der beiden letzten Definitionen dar und beweise, dass deine Darstellung richtig ist.

Lösung

$ z \cdot z^{-1} = z \cdot \frac{\overline z}{|z|^2} = ... = 1 $

Kreisgleichung

Beispiel

Löse die Gleichung $ |z - (1+2 \mathrm i)| = 1$ .

Tip

Die Zahl im Betrag kann man so schreiben, dass man die Definition des Betrags anwenden kann.

Lösung

$ \sqrt {(x-1)^2 + (y-2)^2} $

Interpretiert man $ 1+2 \mathrm i $ als Pfeil in der gaußschen Zahlenebene (x-Achse = Re, y-Achse = Im), bilden die $ (x,y) $ -Paare einen Kreis, der um eins nach rechts und zwei nach oben verschoben ist.