Rechnen mit komplexen Zahlen¶
Multiplikation und Division¶
Rechnen mit komplexen Zahlen
Berechne
a) $ \frac{1}{\mathrm i} $
a) $ (4+5 \mathrm i)(3+ \mathrm i) $
b) $ \frac{17-11 \mathrm i}{3+\mathrm i} $
c) $ \frac{1+\mathrm i}{1 - \mathrm i} $
d) $ \mathrm i^3 $
Tip
Bei b) Bin3 verwenden.
Lösung
a) $ \frac{1}{\mathrm i} = \frac{\mathrm i}{\mathrm i^2} = -\mathrm i $
a) $ 17 - 11 \mathrm i $
b) $ 4-5 \mathrm i $
c) Erweitern mit $ (i+1) $ ergibt $ i $.
d) $ -\mathrm i$
Komplexe Konjugation¶
Dreht man das Vorzeichen beim imaginären Teil um, spricht man von konjugieren. Die konjugiert komplexe Zahl von $ z = a+ b \mathrm i $ schreibt man
$ \overline z : = a - b \mathrm i $.
Reelle konjugiert komplexe Zahlen
Was ist die konjugiert komplexe Zahl einer reellen Zahl?
Lösung
$ \overline z = z $
Es gibt einige Sätze zur komplexen Konjugation. Erwähnt sei hier nur:
$ \overline {z+w} = \overline z + \overline w $
$ z \cdot \overline z = a^2 + b^2 $
Betrag¶
Man definiert den Betrag einer komplexen Zahl als
$ |z| := \sqrt {z \cdot \overline z} $.
Also gilt $ |z|^2 = z \cdot \overline z $ .
Betrag für reelle Zahlen
Zeige, dass für reelle Zahlen nach wie vor der übliche Betragsbegriff gilt.
Lösung
$ z = a \Rightarrow |z| = \sqrt {a^2 }$
Multiplikatives Inverses Teil 2
Stelle das multiplikative Inverse aus Teil 1 unter Verwendung der beiden letzten Definitionen dar und beweise, dass deine Darstellung richtig ist.
Lösung
$ z \cdot z^{-1} = z \cdot \frac{\overline z}{|z|^2} = ... = 1 $
Kreisgleichung¶
Beispiel
Löse die Gleichung $ |z - (1+2 \mathrm i)| = 1$ .
Tip
Die Zahl im Betrag kann man so schreiben, dass man die Definition des Betrags anwenden kann.
Lösung
$ \sqrt {(x-1)^2 + (y-2)^2} $
Interpretiert man $ 1+2 \mathrm i $ als Pfeil in der gaußschen Zahlenebene (x-Achse = Re, y-Achse = Im), bilden die $ (x,y) $ -Paare einen Kreis, der um eins nach rechts und zwei nach oben verschoben ist.