Integration durch Partialbruchzerlegung¶
Für ein Verfahren, mit dem man gebrochenrationale Funktionen integrieren kann, verwenden wir die Partialbruchzerlegung.
Hier geht es noch ohne:
Einfaches Beispiel ohne Partialbruchzerlegung
$ \int \frac{1}{x^2-4x+4} \; \mathrm dx $
Lösung
$ \frac{1}{(x-2)^2} $ kann man wie gewohnt integrieren. $ - \frac{1}{x-2} $ ($ +c $ ).
Hier nicht mehr:
Übung mit Partialbruchzerlegung
$ \int \frac{1}{x^2-1} \; \mathrm dx$
Lösung
$ A = - \frac{1}{2} $ und $ B = \frac{1}{2} $ ergibt
\int \frac{1}{x^2-1} \; \mathrm dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \; \mathrm dx
Und das kann man mit dem Logarithmus-Betrag integrieren zu $ \frac{1}{2} (\ln |x-1| - \ln |x+1|) + c $.
Übung 2
$ \int \frac{x+4}{x^2-x-2} \; \mathrm dx$
Tip
Siehe Partialbruchzerlegung Aufgabe 2
Übung 3
S. 219 Beispiel 8.19