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Integration durch Partialbruchzerlegung

Für ein Verfahren, mit dem man gebrochenrationale Funktionen integrieren kann, verwenden wir die Partialbruchzerlegung.

Hier geht es noch ohne:

Einfaches Beispiel ohne Partialbruchzerlegung

$ \int \frac{1}{x^2-4x+4} \; \mathrm dx $

Lösung

$ \frac{1}{(x-2)^2} $ kann man wie gewohnt integrieren. $ - \frac{1}{x-2} $ ($ +c $ ).

Hier nicht mehr:

Übung mit Partialbruchzerlegung

$ \int \frac{1}{x^2-1} \; \mathrm dx$

Lösung

$ A = - \frac{1}{2} $ und $ B = \frac{1}{2} $ ergibt

\int \frac{1}{x^2-1} \; \mathrm dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \; \mathrm dx

Und das kann man mit dem Logarithmus-Betrag integrieren.

Übung 2

$ \int \frac{x+4}{x^2-x-2} \; \mathrm dx$

Tip

Siehe Partialbruchzerlegung Aufgabe 2

Übung 3

S. 219 Beispiel 8.19