Integration durch Substitution

Motivation und Übung

$ \int x \ cos (x^2) \; \mathrm dx$

Tip

Will man die neue Formel anwenden, muss der erste Faktor $2x$ sein. Dazu sei gesagt: Mit $1$ kann man immer multiplizieren.

Herleitung der Formel

Berechne mittels der Kettenregel die Ableitung von $F\big(u(x)\big)$ und integriere dann auf beiden Seiten.

Substitution bestimmter Integrale

Nach dieser Formel gilt

$$\int_a^b f(u(x)) \cdot u'(x) \; \mathrm dx = \left[ F(u(x)) \right]_a^b$$

Die rechte Seite kann man auch so schreiben: $ \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \; \mathrm du $.

Übung

$$\int_{-2}^2 2x \cos(x^2) \; \mathrm dx$$

Lösung

$ du = 2x \ dx $ also ist das Ergebnis 0. Anschaulich klar aufgrund der Symmetrie zum Ursprung. Bei dieser Rechnung ist die neue Umformung und das Handtieren mit dem Physiker d unnötig.

Trigonometische Substitution und Hyperbolische Substitution

überpringen wir. Es ist aber cool, Inhalte von Ellipsen bestimmen zu können: siehe S. 212.