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Vertiefungskurs Mathematik

Klausur zur Integralrechnung und komplexen Zahlen

A1. Partielle Integration [5 VP]

a) Leiten Sie eine Formel her, mit der man Integrale der Form \int u(x) \cdot v'(x) \; \mathrm d x integrieren kann.

b) Berechnen Sie das folgende Integral.

\int_1^2 (2x-4) \cdot e^{x-1} \; \mathrm d x
Lösung

a) s.o. $ (uv)' = u'v + uv' $ beidseitig integrieren und umstellen. [2 VP]

b) $ \int u(x) \cdot v'(x) \; \mathrm dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \; \mathrm dx $ verwenden mit $ v'(x)=e^{x-1} $. $ \int_1^2 2 e^{x-1}(x-3) \; \mathrm dx = 4-2e = -1,437 $ [3 VP]

A2. Integration durch Substitution [3 VP]

Berechnen Sie das folgende Integral.

\int_0^1 t \cdot \sqrt {1+t^2} \; \mathrm dt
Lösung

Mit $ \mathrm dt = \frac{\mathrm du}{2t} $ folgt $ \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3} (1+t^2)^{\frac{3}{2} } \right]_0^1 = \frac{1}{3} \sqrt 8 - \frac{1}{3} =\frac{1}{3} (2 \sqrt 2 - 1) = 0,61 $

A3. Integration durch Partialbruchzerlegung [3 VP]

Berechnen Sie das folgende Integral, indem Sie im Nenner zunächst ausklammern.

\int \frac{3x-2 \pi}{x^2 - \pi x} \; \mathrm dx
Lösung

$ \frac{3x-2 \pi}{x^2 - \pi x} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x-\pi} $ ergibt

$ 2 \ln(|x|) + \ln(|\pi - x|) + c$

A4. Begriff des Körpers [3 VP]

Wie ist ein mathematischer Körper definiert? Nennen Sie die Axiome und (falls vorhanden) ihre Namen.

Lösung

Körper-Definitionen s.o.

A5. Standarddarstellung [5 VP]

Berechnen Sie für $ a = 2-3 \mathrm i $ und $ b= 4+5 \mathrm i$ und stellen Sie das Ergebnis in der Standarddarstellung dar.

a) $ a + b $

b) $ a \cdot b $

c) $ \frac{a}{b} $

d) $ a \mathrm i $

e) $ |b| $

Lösung

a) $ a + b = 6 + 2 \mathrm i$

b) $ a \cdot b = 23 - 2 \mathrm i$

c) $ \frac{a}{b} = \frac{(2-3 \mathrm i)(4-5 \mathrm i)}{(4+5 \mathrm i)(4-5 \mathrm i)} = \frac{-7 - 22 \mathrm i}{16 + 25} = \frac{-7}{41} - \frac{22}{41} \mathrm i $

d) $ a \mathrm i = 3 + 2 \mathrm i$

e) $ |b| = \sqrt {41} $

A6. Polarkoordinaten [4 VP]

Berechnen Sie zur Zahl $ 4+5 \mathrm i $ das Tupel der Polarkoordinaten und die e-Darstellung.

Lösung

$ r = \sqrt {41} = 6,4 $ (s.o.)

$ \varphi = \tan {\frac{5}{4} } = \cos^{-1}(\frac{4}{\sqrt {41}} ) = 51,34° $

$ z = \sqrt {41} e^{0,285 \pi \mathrm i} $

A7. Komplexe Gleichungen [6 VP]

Berechnen Sie ein $ z $, das die Gleichung löst.

a)

\frac{1+\mathrm i}{z} + \frac{20}{4+3 \mathrm i} = 3 - \mathrm i

Tipp: Wenn auch der zweite Summand in der Standarddarstellung wäre, ... .

b)

\frac{z}{5+5 \mathrm i} = \frac{1}{\mathrm i z + 4 - \mathrm i}

Ja, die Mitternachtsformel kann man auch bei komplexen Zahlen verwenden.

Lösung

a) [3 VP]

Der zweite Summand ist $ \frac{16}{5} - \frac{12}{5} \mathrm i = 3,2 + 2,4 \mathrm i $. [1 VP]

Diesen Summanden nach rechts subtrahieren, mit $ z $ multiplizieren und durch $ - \frac{1}{5} + \frac{7}{5} \mathrm i $ teilen. [1 VP]

Dann mit Bin3 auf in Standarddarstellung umschreiben zu $ \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \mathrm i $ . [1 VP]

b) [3 VP]

Mit den Nennern multiplizieren und zusammenfassen ergibt $ \mathrm i z^2 + (4- \mathrm i ) z - (5+5 \mathrm i) = 0$. [1 VP]

MF ergibt $ \frac{-4 + \mathrm i +- \sqrt {-5 + 12 \mathrm i}}{2i} $. [0,5 VP]

Multiplikation mit $ \mathrm i $ macht den Nenner komplexfrei. [0,5 VP]

Um die Wurzel zu ziehen, schreiben wir den Term unter der Wurzel (genannt Radikand) in e-Darstellung: $ \varphi = \tan^{-1} \frac{12}{-5} = -67,4° $, im 2. Quadranten also $ \varphi = -67,4+180 = 112,6° $. $ r = \sqrt {5^2+12^2} = 13 $. Also ist der Radikand $ 13 e^{\mathrm i \; 112,6°} $. Wir ziehen die Wurzel: $ (13 e^{\mathrm i \; 112,6°})^{\frac{1}{2} } = \sqrt{13} e^{\mathrm i \; 56,3°} $.

Um die Summe jetzt zusammen zu fassen, schreiben wir diese Zahl wieder in der Standarddarstellung. Mit $ a = r \cdot \cos (\varphi) = 2$ und $ b = r \cdot \sin(\varphi) = 3$. Es ergibt sich letztlich $ z_1 = 2 + \mathrm i $ und $ z_2 = -1 + 3 \mathrm i $. [1 VP]