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Vertiefungskurs Mathematik

Die letzte VKM-Klausur

Lineare Algebra und Zahlentheorie

A1. Skalarprodukt. [1+4+3 = 8 VP]

Gegeben sind die beiden Ortsvektoren durch die Punkte $ A(3|-4) $ und $ B(2|5) $.

a) Berechne das Skalarprodukt der beiden Ortsvektoren.

b) Skizziere den Sachverhalt und interpretiere davon ausgehend die Bedeutung des Skalarprodukts aus a).

c) Beweise für alle dreidimensionalen Vektoren die Gültigkeit des Distributivgesetzes. (Tipp: $ a \cdot (b + c) = ... $ )

Lösung

a) $ \vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 5 = -14 $

b) Man erhält $ -14 $, wenn man den Kosinus des Winkels zwischen den Ortsvektoren mit den beiden Längen derselben multipliziert.

c) Auf der rechten Seite $ a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + ... a_3 c_3 $ und rechts erst $ b+c $ koordinatenweise berechnen und dann mit $ a $ skalarmultiplizieren.

A2. Matrizen. [2+2+1+1+1+3+3 = 13 VP]

a) Berechne eine Matrix, mit der man durch Multiplikation von links einen Vektor um $ 180° $ drehen kann.

Gegeben sind

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} , \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\ 0 & 2 & 2 \\\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec v = \begin{pmatrix} 5 \\\ 4 \\\ 3 \end{pmatrix}$$

b) Berechne (wenn möglich) $ A \cdot B $.

c) Berechne (wenn möglich) $ B \cdot A $.

d) Berechne (wenn möglich) $ B \cdot \vec v $.

e) Beweise für zweidimensionale Matrizen nach, dass $ a_{jk} = 0 $ ein neutrales Element der Addition ist.

f) Erläutere ausführlich, was die Existenz einer multiplikativen Inverse mit der Determinate einer Matrix zu tun hat.

g) Berechne die mutliplikative Inverse der folgenden Matrix $ A $:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\ 2 & 5 & -1\\\ 4 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$

Lösung

a)

$$\begin{pmatrix} \cos (180°) & - \sin (180°) \\ \sin (180°) & \cos (180°) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

b) Siehe abiturma

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 22 & 10 & 8 \\\ 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}$$

c) Drei Spalten passen nicht zu zwei Zeilen.

d)

$$B \cdot \vec v = \begin{pmatrix} 26 \\\ 14 \\\ 38 \end{pmatrix}$$

e) Koordinantenweise mit 0 addieren.

f) Es gibt nur eine Inverse, wenn die Determinante nicht 0 ist.

g) Siehe abiturma

$$\begin{pmatrix} 33 & -2 & -7 \\\ -14 & 1 & 3 \\\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

A3. Zahlentheorie. [1+3 = 4 VP]

a) Was ist in der Zahlentheorie (7,21,147)?

b) Beweise $ a|b \land a|c \Rightarrow a|x b + y c \; \forall x,y $.

Lösung

a) $ 7 $

b) Jeweils die Definition anwenden, die Zeilen addieren; ausmultiplizieren, identifizieren.