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Matrizen

Drehung eines Vektors

Um verständlich zu machen, warum man die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor genau so definiert, wie man es macht, schauen wir uns einen Vektor im Zweidimensionalen an.

Bei den komplexen Zahlen haben wir gesehen, dass eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl in der euklidischen Ebene eine Drehung bedeutet.

$ D(\varphi) $ sei eine Drehung um den Winkel $ \varphi $.

Wollen wir einen Vektor $ x $ um den Winkel $ \varphi $ drehen, sodass sich der Vektor $ y $ ergibt, können wir also $ x $ mit einer komplexen Zahl multiplizieren.

$ y = e^{\mathrm i \varphi} x $

Euler und Realteilvergleich

Schreibe das mit den Standarddarstellungen und der Eulerschen Identität aus und vergleiche die Real- und Imaginärteile.

Lösung

$ y_1 = \cos \varphi \cdot x_1 - \sin \varphi \cdot x_2 $

$ y_2 = \sin \varphi \cdot x_1 + \cos \varphi \cdot x_2 $

Die Reihenfolge, dass zuerst $ x_1 $ und dann $ x_2 $ da steht ist für die Definition der jetzt folgenden Multiplikation wichtig.

Um diese Veränderungen der Koordinaten schön dokumentieren zu können, erfinden wir den Begriff der Matrix, indem wir die Faktoren in ein 2x2-Schema schreiben.

\begin{pmatrix} \cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}

Die obige Lösung ist für uns die Definition der Multiplikation mit der Matrix (von links).

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Übrigens kann man auch die Zeilen dieser Matrix als Vektoren auffassen und die y-Werte mittels Skalarprodukt berechnen, z.B.

y_1 = \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ - \sin \varphi \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}

D(90°)

Wie sieht die Matrix einer 90°-Drehung aus?

Lösung
\begin{pmatrix} 0 & - 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Drehe einen Vektor um 90° und überprüfe, ob dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Lösung
\begin{pmatrix} 0 & - 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x_2\\ x_1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - x_2\\ x_1 \end{pmatrix} = 0

Zusammenfassung

y = D(\varphi) \cdot x = e^{\mathrm i \varphi} \cdot x = \begin{pmatrix} w & x\\ y & z \end{pmatrix} \cdot x

Rechnen mit Matrizen

Multiplikation mit einem Vektor

Auch in höheren Dimensionen ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor definiert als Skalarprodukt der Zeilenvektoren der Matrix und des Vektors.

$ A = a_{jk} $ mit $ j,k \in \mathbb{N} $ (im Dreidimensionalen: $ j,k = 1,2,3 $) ist eine Matrix, wobei $ j $ die Zeile bezeichnet und $ k $ die Spalte.

Reihenfolge

"Zeile mal Spalte".

Das Durchnummerieren der Matrixzeilen und sie als Vektoren auffassen: $ a_1 = a_{1k} $ usw. ergibt durch Skalarprodukte die folgende Darstellung einer Multiplikation mit einem Vektor $ x $.

A \cdot x = \begin{pmatrix} a_1 \cdot x\\ a_2 \cdot x\\ a_3 \cdot x \end{pmatrix}

Rechenregeln

Zeige, dass für ein reelles t die folgenden Regeln gelten.

  1. $ A \cdot (tx) = t (A \cdot x) $
  2. $ A \cdot (x + y) = A \cdot x + A \cdot y $

Addition

Für die Addition definiert man einfach

$ c_{jk} = a_{jk} + b_{jk} $.

Aufgaben

Berechne mit selbst gewählten Zahlen eine Matrixaddition. Beweise danach:

  1. $ A + B = B + A $ (Kommutativgesetz)
  2. $ (A + B) x = Ax + Bx $ (Distributivgesetz)
  3. $ O = a_{jk} = 0 $ ist neutrales Element der Addition.

Multiplikation von Matrizen

Jetzt wird's heftiger. Wir beschränken uns auf 3x3-Matrizen. Die Idee, wie man zur Multiplikation zweier Matrizen kommt ist einfach:

$ A \cdot (B \cdot x) = C \cdot x \Rightarrow A \cdot B = C $

Vorarbeit

Schreibt erst mal $ a_{jk} $ und $ b_{jk} $ mit $ j,k = 1,2,3 $ ordentlich auf.

Mit obiger Überlegung können wir $ B \cdot x $ umschreiben.

B \cdot x = \begin{pmatrix} b_1 \cdot x\\ b_2 \cdot x\\ b_3 \cdot x \end{pmatrix}

Diese Matrix multiplizieren wir mit $ A $, indem wir nochmal diese Überlegung anwenden und die drei Skalarprodukte bilden.

y = A \cdot (B \cdot x) = \begin{pmatrix} a_1 \cdot \begin{pmatrix} b_1 \cdot x\\ b_2 \cdot x\\ b_3 \cdot x \end{pmatrix}\\ a_2 \cdot \begin{pmatrix} b_1 \cdot x\\ b_2 \cdot x\\ b_3 \cdot x \end{pmatrix}\\ a_3 \cdot \begin{pmatrix} b_1 \cdot x\\ b_2 \cdot x\\ b_3 \cdot x \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \cdot (b_1 \cdot x) + a_{12} \cdot (b_2 \cdot x) + a_{13} \cdot (b_3 \cdot x)\\ a_{21}...\\ a_{31}... \end{pmatrix}

An der Uni sieht man häufig die Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben: $ (b_1 \cdot x, b_2 \cdot x, b_3 \cdot x) $, damit's etwas übersichtlicher oder besser zu tippen ist; sprich es ist da das Skalarprodukt von einem Zeilen- und einem Spaltenvektor gleich definiert wie das Skalarprodukt.

Ausrechnen und nach x_i sortieren ergibt

$ y_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}) x_1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}) x_2 + (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33}) x_3 $

Wie kriegt man die Klammern direkt aus den Matrizen

Vergleicht jetzt mal die Matrizen $ A $ und $ B $ mit den Klammern und schustert euch eine Regel zurecht, wie ihr zu den Klammern kommt, ohne so lange rechnen zu müssen.

Lösung

Die drei Klammern lassen sich als Skalarprodukte des (Zeilen-)Vektors $ a_1 $ mit den drei (Spalten-)Vektoren von $ B $ auffassen.

$ y_1 = (a_1 \cdot b_1) x_1 + (a_1 \cdot b_2) x_2 + (a_1 \cdot b_3)x_3 $.

Wobei $ a_1 $ ein Vektor aus den Zeilen von $ A $ und die $ b_i $ Vektoren der Spalten von $ B $ sind.

Da die Summen mit $ x_i $ durch Skalarprodukt mit $ x $ zustande kommen, können wir die Klammern als Einträge in der Matrix $ C $ auffassen. Der erste Eintrag ist also das Skalarprodukt der ersten Zeile von $ A $ und der ersten Spalte von $ B $. Der zweite Eintrag in der ersten Zeile von $ C $ ist das Skalarprodukt der ersten Zeile von $ A $ und der zweiten Spalte von $ B $ usw.

Ergebnis

$ c_{jk} = a_j \cdot b_k $

wobei $ j,k =1,2,3 $ und die $ a_j $ Zeilen- und die $ b_k $ Spaltenvektoren sind.

Bemerkung

Voraussetzung bzgl. der Anzahlen

Denkt mal an höhere Dimensionen. Wie müssen zwei Matrizen aussehen, damit man sie multiplizieren kann: Welche Anzahl Zeilen und Spalten müssen sie haben?

Lösung

Ein Matrizenprodukt kann man nur bilden, wenn die Anzahl der Spalten von $ A $ gleich der Anzahl der Zeilen von $ B $ ist.

Hausaufgabe

  1. Gilt das Assoziativgesetz?
  2. Gilt das Distibutivgesetz?
  3. Gilt das Kommutativgesetz?
Lösung

Ja, ja, nein.

Einheitsmatrix

  1. Wie sieht die Matrix des neutralen Elements der Multiplikation aus?
  2. Muss man diese Matrix links oder rechts hin multiplizieren?
Lösung
  1. Auf der Hauptdiagonalen stehen 1en, sonst 0en.
  2. Egal.

Determinante

Was jetzt bezüglich der Körpereigenschaften (u.a.) noch interessiert, ist wie das multiplikative Inverse aussieht. Bei den Überlegungen dazu wird eine Zahl auffallen, die ein wichtiges Kennzeichen einer Matrix ist: die Determinante.

$ Ax = y $ kann man ja schreiben als

$ I \quad ax_1+bx_2 = y_1 $

$ II \quad cx_1+dx_2 = y_2 $

Wir wollen das $ x $ isolieren, weil dann die Inverse beim $ y $ auftaucht ($ A^{-1}Ax = Ix = x = A^{-1}y $ ). Wir brauchen also eine Zeile, in der nur ein $ x_1 $ und kein $ x_2 $ steht und eine zweite Zeile mit nur einem $ x_2 $.

Für das Erste multiplizieren wir $ I $ mit $ d $, $ II $ mit $ -b $ und addieren $ I+II $.

Für das Zweite multiplizieren wir $ I $ mit $ -c $, $ II $ mit $ a $ und addieren $ I+II $.

Also ergibt sich

$ (ad-bc)x_1 = d y_1-b y_2 $

$ (ad-bc)x_2 = -c y_1 + a y_2 $

Damit haben wir unser $ x $:

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}

Voraussetzung

Das geht aber nur unter welcher Voraussetzung?

Determinante

Wir nennen $ ad-bc $ die Determinante $ D = \det(A) = |A| $ der Matrix.

Für eine Matrix

A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}

ist also die Inverse

A^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Bemerkung

Eine Matrix ist also genau dann invertierbar, wenn die Determinante nicht 0 ist.

Arbeitsauftrag

Recherchiert

  1. die geometrische Bedeutung der Determinante.
  2. wie man die Determinante von größeren Matrizen berechnet. Welche Voraussetzung gilt?

Lineare Gleichungssysteme

Ein LGS hat die Form $ Ax = b $, wobei $ A $ gleich viele Spalten haben muss wie $ x $, sagen wir $ n $. Die Koordinaten von $ x $ sind die zu bestimmenden $ n $ Unbekannten.

Für die Lösung gilt also $ x = A^{-1}b$, wobei $ b $ sagen wir $ m $ Zeilen haben muss, genau so viele wie $ A $.

Ebenengleichung als LGS

Schreibe das Problem $ x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 $ in obige Darstellungsform um.

Welche geometrische Bedeutung hat $ x $ in diesem Fall?

Wie zeichnet ihr im Abi $ x $ ?

Lösung

$ x $ ist der Ortsvektor zu einem Punkt $ X $ auf der Ebene $ E $.

Man nennt das LGS $ Ax=b $ inhomogenes System und ordnet ihm ein homogenes System $ Ax=0 $ zu.

Nimmt man zwei Lösungen des inhomogenen Systems: $ x $ und $ x^* $ ergibt sich:

$ Ax - Ax^* = A(x-x^*) = b-b = 0$

Nennen wir $ x-x^* = h $, so ist $ h $ eine Lösung des homogenen Systems.

Soso!?

Und was bringt uns das für die Lösung des inhomogenen Systems?

Antwort

$ x = x^* + h $

$ x^* $ nennt man daher spezielle Lösung des inhomogenen Systems.

Bemerkungen

Ist $ h $ eine Lösung des homogenen Systems, dann auch $ \alpha h $.

Sind $ h $ und $ h' $ Lösungen des homogenen Systems, dann auch $ h+h' $.

Die $ 0 $ gibt's immer.

Damit ist die Lösungsmenge ein Vektorraum.

Veranschaulichung an der Ebene

Nehmen wir zur Veranschaulichung die Ebene von oben: $ x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 $

Frage zum inhomogenen System

Gib eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems an.

Lösung

$ x^* = (4,0,0)$

Frage zum homogenen System

Wie lautet das homogene System? Und wie bekommt man davon leicht spezielle Lösungen?

Lösung

$ x_1+2x_2-x_3=0 $

Zwei spezielle Lösungen des homogenen Systems sind:

h_1 = \begin{pmatrix} -2 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix}

und

h_2 = \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix}

Also kann man alle Lösungen des homogenen Systems schreiben als

h = \alpha_1 \begin{pmatrix} -2 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix}

Wie sieht also die Lösungsmenge des inhomogenen Systems aus?

Veranschaulichung

Man sagt, dass der Lösungsraum von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird oder, dass sie eine Basis des Lösungsraums bilden.

Online-Rechner für Ebenen

Zusammenhang mit Vektorprodukt und Determinante

Wie ihr wisst, sucht man beim Kreuzprodukt einen Vektor $ x $, der auf zwei Vektoren, sagen wir $ a $ und $ b $ senkrecht steht. Das kann man als homogenes System auffassen:

$ a \cdot x = 0$

$ b \cdot x = 0 $

Ausgeschrieben bekommt man zwei Zeilen mit links je drei Summanden.

Wir wollen für $ x_3 = 1 $ die beiden anderen Koordinaten richtig bestimmen.

Dazu multipliziert man die erste Zeile mit $ b_2 $ , die zweite mit $ a_2 $ und subtrahiert die Zeilen voneinander. Dadurch heben sich die $ x_2 $ -Terme weg und man erhält

$ x_1 = \frac{a_2b_3 - a_3 b_2}{a_1b_2 - a_2b_1} $

Ebenso durch Multiplikation der ersten Zeile mit $ b_1 $, der zweiten mit $ a_1 $ und Subtraktion ergibt sich

$ x_2 = \frac{a_1b_3-a_3b_1}{a_2b_1-a_1b_2} $

Also haben wir $ x = (x_1,x_2, 1) $.

Da nach den obigen Bemerkungen das Vielfache mit $ a_1b_2-a_2b_1 $ auch eine Lösung ist, sehen wir die Regel, die man im Abi immer anwendet und den Zusammenhang mit den Determinanten dreier Matrizen.

\begin{pmatrix} a_2 & a_3 \\\ b_2 & b_3 \end{pmatrix}

usw.