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Lineare Algebra

Vektoren

Definition Vektorraum

Das Spezielle ist die Skalarmultiplikation. Als Körper betrachten wir üblicherweise die reellen Zahlen.

Definition: Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums.

Skalarprodukt

Als Bridge von den komplexen Zahlen betrachten wir den Winkel zweier Vektoren $ a = (a_1, a_2) $ und $ b = (b_1, b_2) $ in der euklidischen Ebene.

Wir suchen eine Formel für den Winkel, also einen Zusammenhang zwischen dem Winkel $ \varphi $ und den Koordinaten $ a_1, a_2, b_1 $ und $ b_2 $.

Dazu fassen wir $ a $ und $ b $ als komplexe Zahlen auf, sodass $ \varphi = \beta - \alpha $ gilt.

$ \vec a = a_1 + \mathrm i a_2 = |a| e^{\mathrm i \alpha} $

$ \vec b = b_1 + \mathrm i b_2 = |b| e^{\mathrm i \beta} $

(Hier ist meine Begründung dafür, dass die Pfeile unnötig sind.)

Trick: \overline a b

Berechne \overline a b erstens mit den Standarddarstellungen von $ a $ und $ b $ und zweitens mit den e-Darstellungen.

Lösung

Ausmultiplizieren ergibt:

\overline a b = a_1 b_1 + a_2b_2 + \mathrm i(a_1b_2 - a_2b_1) \quad \star

\overline a b = |a||b|e^{\beta - \alpha} = |a||b|e^{\varphi}

Mit der Eulerschen Identität ergibt sich aus dem zweiten

$ \overline a b = |a| |b| (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi) $.

Realteil vergleichen

Multipliziere das noch aus und vergleiche dann den Realteil mit dem Realteil von $ \star $.

Lösung

$a_1b_1 + a_2b_2 = |a||b| \cos \varphi $

Skalarprodukt

Die linke Seite fassen wir als eine sogenannte Skalarprodukt auf.

$ \vec a \cdot \vec b := a_1b_1 + a_2b_2 $

(Im Dreidimensionalen $ \vec a \cdot \vec b := a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also immer eine Zahl.

Und für damit kann man unser Ergebnis so schreiben:

$ \cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b| } $

Dabei nehmen wir die Zahlen für den Bruch, die zwischen $ -1 $ und $ 1 $ liegen, nach der Cauchyschen Ungleichung bzw. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt das aber immer.

Senkrecht stehende Vektoren

Was ist $ \cos (90°) $? Und was ergibt sich daraus?

Lösung

$ \cos (\frac{\pi}{2} ) = 0 \Leftrightarrow a \cdot b = 0 $

Eigenschaften des Skalarprodukts

Rechne die folgenden Eigenschaften nach:

  1. Kommutativgesetz: $ a\cdot b = b \cdot a $
  2. Distributivgesetz: $ a\cdot (b+c)= a\cdot b + a \cdot c $
  3. $ (ta) \cdot b $ = t(a\cdot b) mit einem reellen $ t $.
  4. $ a\cdot a = a^2 = |a|^2 $ also $ |a| = \sqrt {a^2} $