Partialbruchzerlegung¶
Summary
Den Nenner in zwei Faktoren umformen (Ausklammern, Bin, NSt. berechnen) und damit zwei Summanden ansetzen, dann Koeffizientenvergleich.
$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} - \frac{B}{(k+1)} $
$ 1 = A \cdot (k+1) - B \cdot k \quad (\star)$
$ 1 = Ak + A - Bk $
$ 1 = (A-B) \cdot k + A $
$ 0 \cdot k + 1 = (A-B) \cdot k + A $
Mit einem Koeffizientenvergleich folgt:
$ A = B $
und damit
$ 1 = A = B $
Also
$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)} $
Bemerkung
In $ (\star) $ kann man für k auch geschickt Zahlen einsetzen, um A oder B zu berechnen, also z.B. $ k = -1 $.
Aufgabe 1
Berechne die Partialbruchzerlegung von
$ \frac{3x-2 \pi}{x^2 - \pi x} $
Tip
$ \frac{3x-2 \pi}{x^2 - \pi x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-\pi}$
Lösung
$ \frac{3x-2 \pi}{x^2 - \pi x} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x-\pi} $
Aufgabe 2
Berechne die Partialbruchzerlegung von
$ \frac{x+4}{x^2-x-2}$
Lösung
$ \frac{x+4}{x^2-x-2} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x-2} $