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Reihen

Definition

Eine Reihe ist eine Folge, deren Glieder aus den Summen von Folgengliedern besteht. Das n-te Glied einer Reihe, also die Summe der ersten n Summanden nennt man auch n-te Partialsumme, sie sieht also so aus:

s_n = \sum_{k=1}^n a_k

Die Glieder einer Reihe sind also Partialsummen.

Die unendliche Summe

\sum_{k=1}^{\infty} a_k

wird für zweierlei verwendet

  1. als Bezeichnung der Reihe (also als Folge der Partialsummen) $$ s_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$

  2. als Grenzwert $$ s $$ der Reihe: $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k = s $$

Geometrische Reihe

s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^k \quad , \; q \neq 1

z.B.

s_n = \sum_{k=0}^{\infty} 2^k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots

also

s_0 = 1, \quad s_1 = \frac{3}{2}, \; \ldots

Diese geometrische Reihe konvertiert gegen 2 (d.i. die Lösung des Paradoxons von Zenon, siehe S. 96 Aufgabe 4.31).

Die Summe mit den $$ \ldots $$ deutet nur an, wie die Summanden der Partialsummen aussehen. Besser wäre es vielleicht, Kommas zu verwenden, aber das habe ich noch nie gesehen:

\sum_{k=0}^{\infty} 2^k = \sum 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{8} , \ldots

Die geometrische Reihe

s_n = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k

konvergiert nicht, sondern hat zwei Häufungspunkte: bei 0 und 1.

Arithmetische Reihen

Bei Reihen, deren Partialsummen aus einer arithmetischen Folge entstehen, spricht man von arithmetischen Reihen.

Das Schöne ist bei ihnen, dass sich die Partialsummen direkt berechnen lassen, weil der Abstand zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, also z.B. mit Abstand d: $ a_k = a_0 + kd $ .

Die Gaußsche Summenformel, auch der kleine Gauß genannt, ist eine Darstellung der n-ten Partialsumme der einfachsten arithmetischen Reihe:

\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Übung

Berechne den Grenzwert der Reihe

s_n = \frac{\sum_{k=1}^{\infty} k}{n^2}

Harmonische Reihe

s_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}

Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist, divergiert die harmonische Reihe.

Mehr zur harmonischen Reihe auf Wikipedia