Zum Inhalt

Grenzwert von Reihen

Summary

Bei der Grenzwertberechnung können Teleskopsummen helfen.

Berechnung mittels Teleskopsumme

s_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}

Formt man die Partialsummen unter der Idee der Teleskopsumme um, sieht man, dass man (durch $ +k-k $ im Zähler) die n-te Partialsumme umschreiben kann zu:

\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

Damit ist nach Betrachtung der Teleskopsumme

s_n = 1 - \frac{1}{n+1}

Also ist der Grenzwert der Reihe 1.

Übung (WG)

Aufgabe 1

Berechne den Grenzwert der Reihe

s_n = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2-1}
Tip

Binomische Formel, Partialbruchzerlegung

Lösung
\frac{1}{k^2-1} = \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{2(k+1)}
s = \frac{3}{4}

Grenzwert bei geometrischen Reihen

Die Idee der Teleskopsumme hilft auch beim Nachrechnen der Grenzwertformel für geometrische Reihen:

s_n \cdot (1-q) = \ldots = 1 - q^{n+1}
\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Für $ |q|< 1 $ haben wir daher den Grenzwert

s = \frac{1}{1-q}

Übungen (EA)

Aufgabe 2

Berechne den Grenzwert der Reihe

s_n = \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k
Lösung
s = \frac{1}{1-(-\frac{1}{2} )} = \frac{2}{3}

Aufgabe 3

Berechne $ 0,999 \ldots $ mittels Grenzwertberechnung einer geometrischen Reihe.

Tip
0,999 \ldots = 0,9 \cdot \left( 1 + \ldots \right)
Lösung

Lösung

Aufgabe 4

Berechnet in Partnerarbeit den Flächeninhalt der Quadratpflanze. Einigt euch davor, ob ihr die Variante mit drei oder vier Ästen betrachtet.

Tip

S. 87 Beispiel 4.28

Lösung
A_{\infty} = \frac{5}{3}