Grenzwert von Reihen¶
Summary
Bei der Grenzwertberechnung können Teleskopsummen helfen.
Berechnung mittels Teleskopsumme¶
Formt man die Partialsummen unter der Idee der Teleskopsumme um, sieht man, dass man (durch $ +k-k $ im Zähler) die n-te Partialsumme umschreiben kann zu:
Damit ist nach Betrachtung der Teleskopsumme
Also ist der Grenzwert der Reihe 1.
Übung (WG)¶
Aufgabe 1
Berechne den Grenzwert der Reihe
Tip
Binomische Formel, Partialbruchzerlegung
Lösung
Grenzwert bei geometrischen Reihen¶
Die Idee der Teleskopsumme hilft auch beim Nachrechnen der Grenzwertformel für geometrische Reihen:
Für $ |q|< 1 $ haben wir daher den Grenzwert
Übungen (EA)¶
Aufgabe 2
Berechne den Grenzwert der Reihe
Lösung
Aufgabe 3
Berechne $ 0,999 \ldots $ mittels Grenzwertberechnung einer geometrischen Reihe.
Tip
Lösung
Aufgabe 4
Berechnet in Partnerarbeit den Flächeninhalt der Quadratpflanze. Einigt euch davor, ob ihr die Variante mit drei oder vier Ästen betrachtet.
Tip
S. 87 Beispiel 4.28