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Konvergenz von Reihen

Notwendige Bedingung für Konvergenz

s_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \; , \; n \in \mathbb{N} \; \text{ konvergent} \quad \Rightarrow \quad a_n \text{ Nullfolge}

Betrachte dazu:

s_n - s_{n-1} = a_n

Abolute Konvergenz

Eine Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_n $ heißt abolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert, also wenn $ \sum_{k=1}^{\infty} |a_n| $ konvergiert.

Zusammenhang mit der "normalen" Konvergenz

s_n \text{ absolut konvergent} \quad \Rightarrow \quad s_n \text{ konvergent}

Konvergenzkriterien äüö

Übung

Erarbeiten Sie gruppenteilig die ab Seite 94 dargestellten Konvergenzkriterien. Dokumentieren Sie die in den folgenden Spiegelstrichen aufgelisteten Aspekte auf einem kopierbaren DIN-A4-Papier.

Schauen Sie sich erst die zu dokumentierenden Aspekte an, und den evtl. dargestellten Beweis erst dann, wenn noch Zeit übrig ist.

  1. Leibnizkriterium
    • Satz (also das Kriterium)
    • Beispiel
    • Beweisen Sie, dass die Umkehrung des "Satzes zur absoluten Konvergenz" nicht gilt.
  2. Majorantenkriterium
    • Satz (also das Kriterium)
    • Beispiel
    • Beweisen Sie, den obigen Zusammenhang von absoluter und "normaler" Konvergenz.
  3. Quotientenkriterium
    • Satz (also das Kriterium)
    • Beispiel
    • Schauen Sie sich nach dem Dokumentieren den Beweisteil (i) an und versuchen Sie ohne zu Dokumentieren, so viel wie möglich zu verstehen.
  4. Wurzelkriterium
    • Satz (also das Kriterium)
    • Beispiel aus dem Buch
    • Beispiel aus dem Internet (z.B. Wikipedia)