Konvergenz von Reihen¶
Notwendige Bedingung für Konvergenz¶
s_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \; , \; n \in \mathbb{N} \; \text{ konvergent} \quad \Rightarrow \quad a_n \text{ Nullfolge}
Betrachte dazu:
s_n - s_{n-1} = a_n
Abolute Konvergenz¶
Eine Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_n $ heißt abolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert, also wenn $ \sum_{k=1}^{\infty} |a_n| $ konvergiert.
Zusammenhang mit der "normalen" Konvergenz¶
s_n \text{ absolut konvergent} \quad \Rightarrow \quad s_n \text{ konvergent}
Konvergenzkriterien äüö¶
Übung¶
Erarbeiten Sie gruppenteilig die ab Seite 94 dargestellten Konvergenzkriterien. Dokumentieren Sie die in den folgenden Spiegelstrichen aufgelisteten Aspekte auf einem kopierbaren DIN-A4-Papier.
Schauen Sie sich erst die zu dokumentierenden Aspekte an, und den evtl. dargestellten Beweis erst dann, wenn noch Zeit übrig ist.
- Leibnizkriterium
- Satz (also das Kriterium)
- Beispiel
- Beweisen Sie, dass die Umkehrung des "Satzes zur absoluten Konvergenz" nicht gilt.
- Majorantenkriterium
- Satz (also das Kriterium)
- Beispiel
- Beweisen Sie, den obigen Zusammenhang von absoluter und "normaler" Konvergenz.
- Quotientenkriterium
- Satz (also das Kriterium)
- Beispiel
- Schauen Sie sich nach dem Dokumentieren den Beweisteil (i) an und versuchen Sie ohne zu Dokumentieren, so viel wie möglich zu verstehen.
- Wurzelkriterium
- Satz (also das Kriterium)
- Beispiel aus dem Buch
- Beispiel aus dem Internet (z.B. Wikipedia)