Bedingte Wahrscheinlichkeit¶
Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit
In einer Urne liegen 6 Kugeln: eine blaue, drei grüne und zwei rote. Außerdem sind die Kugeln mit Symbolen bemalt: Ein Herz ist auf der blauen, zwei grünen und einer roten Kugel; ein Smiley ist auf einer grünen und einer roten Kugel.
Ein Schüler zieht eine Herz-Kugel. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie rot ist?
Alternative Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel, die mit einem Herz bemalt ist, rot ist.
Lösung mittels Definition¶
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
$ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $
Manchmal sieht man auch $ P_A(B)=P(B|A) $.
Man liest "Wahrscheinlichkeit, wenn A dann B" oder "Unter der Bedingung A, ist die Wahrscheinlichkeit für B"
$ A \cap B $ bedeutet dabei A und B. Das $ \cap $ bedeutet "geschnitten". Insgesamt ist das also die Schnittmenge von A und B.
In der Definition ist natürlich $ P(A) $ nicht 0.
Hier ist A = Herz und B = rot.
Also ist $ P_{Herz}(rot) = \frac{P(Herz) \cap P(rot)}{P(Herz)} = \frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{6} } = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{1}{4} $.
Lösung mittels Vierfeldertafel¶
| rot | $ \lnot $ rot | ||
| Herz | |||
| $ \lnot $ Herz | |||
| 6 |
Weitere Aufgaben¶
Fußball-Aufgaben
Von 2000 Befragten trinken 800 gerne Bier. Es schauen 450 gerne Fußball und trinken gerne Bier. 900 trinken weder gerne Bier noch schauen sie gerne Fußball.
a) Erstelle eine Vierfeldertafel.
b) Wie viel Prozent der Befragten trinken gerne Bier?
c) Wie viel Prozent der Befragten trinkt nicht gerne Bier, schaut aber gerne Fußball?
d) Wie viel Prozent der Biertrinker schauen gerne Fußball? (Bedingte Wahrscheinlichkeit!)
Lösung
a) Klar mit Differenz- und Summenbildung.
b) $ \frac{800}{2000} $ also 40 %.
c) $ \frac{300}{2000} $ also 15 %.
d) Die Bedinung ist das Bierlieben. Also $ \frac{450}{800} $, also 56 %.
Corona-Aufgaben
Stelle dir eigene Aufgaben, die mit medizinischen Test zu tun haben, wie im Buch S. 245|8. Auf ZDF werden z.B. die Sensitivität und Spezifität eines (von Kary Mullis erfundenen) PCR-Tests angegeben.
Die Sensivitiät bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der das getestete Virus trägt ein positives Testergebnis bekommt, also $ P_V(+) $.
Die Spezifität bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der das getestete Virus nicht trägt einen negativen Test bekommt, also $ P_{\overline{V}}(-) $.
Mit den Zahlen von deutschland.de und countrymeters kann man die aktuelle Prozentzahl der Menschen mit Corona-Virus ausrechnen.
Noch mehr Aufgaben mit Lösungen