Polynomgleichungen¶

Definitionen¶

$P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0, \quad n \ge 0$

$$ x := $$ Variable

$$ x^n := $$ Potenz (Basis hoch Exponent)

$$ a_n := $$ Koeffizient, Faktor, Vielfaches

$$ n \in \mathbb{N} := $$ Grad

$$ (x-n) $$ Linearfaktor

Schreibe das Polynom unter Verwendung des Summenzeichens.

Manche Polynome (in $$ \mathbb{C} $$ alle) lassen sich in Linearfaktoren zerlegen.

Zerlege die folgenden Polynome in ihre Linearfaktoren:

$x^4 - 4 x^2$

$x^3 - 4 x$

$x^4 - 2 x^2$

$x^2 + 1 = (x+i)(x-i)$

Warum läßt sich das letzte Polynom nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen?

Welche geometrische Bedeutung haben die Zahlen in den Linearfaktoren?

Welche Möglichkeiten kennst du, lineare und quadratische Gleichungen zu lösen?

Bei Polynomen mit $$ n \ge 3 $$ muss man leider eine Nullstelle raten.

$6044:37 = 163 R 13 = 163 + \frac{13}{37} $$ $$ 6044 = 163 \cdot 37 + 13$

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Zerlegen Sie mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs

$P(x) = x^3-37x^2 + x -37$

in Linearfaktoren.