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Besondere Folgen

Die Schüler erarbeiten in Partnerarbeit eine Präsentation zu einem der folgenden Themen

Heron-Verfahren

(Siehe Glosauer S. 79 Beispiel 4.22 )

a_1 = 1; \quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \left(a_n + \frac{2}{a_n} \right)

Der Grenzwert ist $$ \sqrt{2} $$.

Dahinter steckt das Heron-Verfahren, weshalb man von der Newton-Heron-Folge spricht. ("Newton" deswegen, weil das Heron-Verfahren auf dem Newton-Verfahren beruht.)

Veranschaulichung von $$ \sqrt{9} $$.

Zeigen Sie, dass die Folge (ab $$ n=2 $$) streng monoton fällt.

  1. Wir wenden die Definition der Monotonie an.
  2. Nach der Vereinfachung der Differenz bleibt ein Bruch.
  3. Der Nenner des Bruchs ist $$ > 0 $$ (Vollständige Induktion).
  4. Der Zähler des Bruchs ist $$ < 0 $$ (Bin1, Ausklammern, Bin2).

Zeigen Sie, dass aus der Annahme, dass der Limes der Folge a ist, $$ a = \sqrt{2} $$ folgt, indem Sie die Definition der Folge betrachten.

Geometrische Folge

$$ a_n = q^n $$ nennt man geometrische Folge.

Für $$ |q|<1 $$ ist es eine Nullfolge.

Für $$ |q|>1 $$ ist sie divergent.

Beweis mit Weierstraß (Glosauer S. 63 Bsp. 4.2, S. 64 Bsp. 4.5 und S. 66 Bsp. 4.7).

Zinseszinsfolge

B_1 = B_0 + \frac{p}{100} \cdot B_0 = B_0(1+\frac{p}{100} )
B_2 = B_1(1+\frac{p}{100} ) =B_0(1+\frac{p}{100} )^2

...

B_n = B_0 (1+\frac{p}{100})^n

Das ist eine geometrische Folge mit $$ q = 1+\frac{p}{100} $$

Ist die Zinseszeinsfolge eine Nullfolge oder divergent?

Bemerkungen

Manchmal sieht man auch die Definition $$ a_n = a_0 \cdot q^n $$.

Die rekursive Darstellung ist $$ a_{n+1} = a_n \cdot q $$

Harmonische Folge

Arithmetische Folge

Bemerkungen

a_{n+1} = a_n + d

Jedes Folgenglied ist arithmetisches Mittel seiner Nachbarglieder:

a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}