Besondere Folgen¶
Die Schüler erarbeiten in Partnerarbeit eine Präsentation zu einem der folgenden Themen
- Heron-Verfahren (inkl. Veranschaulichung)
- Newton-Verfahren https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
- Geometrische Folge (inkl. geometrisches Mittel)
- Arithmetische Folge (inkl. arithmetisches Mittel) https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Folge
Heron-Verfahren¶
(Siehe Glosauer S. 79 Beispiel 4.22 )
Der Grenzwert ist $$ \sqrt{2} $$.
Dahinter steckt das Heron-Verfahren, weshalb man von der Newton-Heron-Folge spricht. ("Newton" deswegen, weil das Heron-Verfahren auf dem Newton-Verfahren beruht.)
Veranschaulichung von $$ \sqrt{9} $$.
Zeigen Sie, dass die Folge (ab $$ n=2 $$) streng monoton fällt.
- Wir wenden die Definition der Monotonie an.
- Nach der Vereinfachung der Differenz bleibt ein Bruch.
- Der Nenner des Bruchs ist $$ > 0 $$ (Vollständige Induktion).
- Der Zähler des Bruchs ist $$ < 0 $$ (Bin1, Ausklammern, Bin2).
Zeigen Sie, dass aus der Annahme, dass der Limes der Folge a ist, $$ a = \sqrt{2} $$ folgt, indem Sie die Definition der Folge betrachten.
Geometrische Folge¶
$$ a_n = q^n $$ nennt man geometrische Folge.
Für $$ |q|<1 $$ ist es eine Nullfolge.
Für $$ |q|>1 $$ ist sie divergent.
Beweis mit Weierstraß (Glosauer S. 63 Bsp. 4.2, S. 64 Bsp. 4.5 und S. 66 Bsp. 4.7).
Zinseszinsfolge¶
...
Das ist eine geometrische Folge mit $$ q = 1+\frac{p}{100} $$
Ist die Zinseszeinsfolge eine Nullfolge oder divergent?
Bemerkungen¶
Manchmal sieht man auch die Definition $$ a_n = a_0 \cdot q^n $$.
Die rekursive Darstellung ist $$ a_{n+1} = a_n \cdot q $$
Harmonische Folge¶
Arithmetische Folge¶
Bemerkungen¶
Jedes Folgenglied ist arithmetisches Mittel seiner Nachbarglieder: