Quadratwurzel und Quadratische Gleichungen

Die komplexe Quadratwurzel

Unter der komplexen Quadratwurzel von $z$ verstehen wir die Zahlen(!), die die Gleichung $w^2 = z$ lösen.

Wurzel in anderen Darstellungsformen

Berechne die komplexen Wurzel von $\mathrm i$ (u.a. durch Vergleich von Real- und Imaginärteilen) in die Darstellung mit Polarkoordinaten und in e-Darstellung um. Also

$w^2 = i$ mit $w = x + y \mathrm i$.

Tip

Für die e-Darstellung muss man $\mathrm i$ in e-Darstellung schreiben: $ i = e^{\frac{\pi}{2} \mathrm i } $.

Lösung

$w = +- \frac{1+\mathrm i}{\sqrt 2}$

$w = +- e^{\frac{\pi}{4 }\mathrm i}$

Geometrische Bedeutung

Die Wurzel zieht man also durch Ziehen der Wurzel aus der Länge und dem Halbieren des Winkels.

Definition

Unter $\sqrt z$ definieren wir die erste Lösung der Gleichung $w^2 = z$.

Also gilt $ \sqrt {\mathrm i} = e^{\frac{\pi}{4} \mathrm i}$

Beispiel

$ z = \sqrt {5+12 \mathrm i} $

Berechne die Darstellung mit Polarkoordinaten, um zur klassischen Schreibweise zu kommen.

Tip

Der Betrag von $z$ ist 13. Der Winkel ca. 67°. Das kann man in die Polarform einsetzen, was praktisch ist, weil man jetzt die Wurzel aus dem Produkt ziehen kann. Das jetzige e kann man wieder in der Darstellung mit Polarkoordinaten umschreiben.

Lösung

$\sqrt 13 (\cos 34° + \mathrm i 34°) = 3+ 2 \mathrm i$