Die komplexe e-Darstellung (Polarform)

Exkurs zur e-Darstellung

e-Darstellung

Für die komplexe e-Zahlen setzen wir in die Definition der Exponentialfunktion für $x$ einen Imaginärteil ein, also $\varphi \mathrm i$.

Taylorreihen von sin und cos

$$\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$$

$$\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}$$

Die Entwicklung der Taylorreihen ist auf S. 139 vorgerechnet.

Eulersche Identität

$$e^{\varphi \mathrm i} = \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi$$

Buch S. 248

Wiki 1

Wiki 2

Beispiele

Stelle $ z = 3 \sqrt 3 + 3 \mathrm i $ (s.o.) als komplexe e-Darstellung dar.

Lösung

$ 6 (\cos \frac{\pi}{6} + \mathrm i \sin \frac{\pi}{6} ) = 6 e^{i \frac{\pi}{6} } $

Stelle $ z = 1 + \mathrm i $ als komplexe e-Darstellung dar.

Lösung

$ 1+ \mathrm i = \sqrt 2 e^{\mathrm i \frac{\pi}{4} } $

Stelle $ \sqrt 2 + \sqrt 2 \mathrm i$ als komplexe e-Darstellung dar.

Lösung

$r=2$. Da $\tan \varphi \; 1$ ist und die Zahl im ersten Quadranten liegt, folgt $\varphi = \frac{\pi}{4} $. Also ist die Zahl $2 e^{\frac{\pi}{4} \mathrm i}$.

Eulersche Identität mit $ \pi $

Berechne $ e^{\pi \mathrm i} $ mit Hilfe der eulerschen Identität.

Schöner Zusammenhang zwischen den fünf wichtigsten Zahlen.

$ z= \cos \pi + \mathrm i \sin \pi $ bedeutet $ \varphi = \arg z = \pi $, da $\cos \pi = -1 $ und $\sin \pi = 0 $ ist $a=r \cos \pi = -1 $ und $b = r \cos \pi = 0 $, was anschaulich einen Betrag von 1 nach links bedeutet, also $z = -1$. Dadurch ergibt sich:

$$e^{\pi \mathrm i} +1 = 0$$

Ich nenne die Zahlen in der Form $e^{\mathrm i \varphi}$ e-Darstellung, obwohl sie offiziel Polarform heißt. Die Form $r \cdot (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi)$ nenne ich Darstellung mit Polarkoordinaten.

Die Formel von de Moivre

Die Formel von de Moivre

Beweise mit Hilfe der eulerschen Identität die Formel von de Moivre.

$(\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + \mathrm i \sin n \varphi$

Doppelwinkelformeln

Beweise mit Hilfe der Formel von de Moivre für den Fall $n=2$

$\sin 2 \varphi = 2 \cos \varphi \sin \varphi $

Welche zweite Formel hast du damit auch bewiesen?

Tip

Den Term für $n=2$ kann man auch mit einer sehr bekannten anderen Formel ausrechnen, die man ganz oft als "Trick" benötigt. Dann kann man einen "Koeffizientenvergleich" durchführen: den Real- und Imaginärteil vergleichen.

Geometrische Deutung der komplexen Multiplikation

Multiplikation in der gaußschen Ebene.

Multipliziere zwei komplexe Zahlen in e-Darstellungen und forme so weit um, bis wieder eine e-Darstellung da steht. Interpretiere dann mit Hilfe von zwei Pfeilen, was bei der Multiplikation geometrisch in der gaußschen Ebene passiert.

Lösung

Beträge werden multipliziert, Winkel addiert.