Monotonie von Folgen

Definition

Eine Folge heißt monton wachsend (fallend), wenn für alle Folgenglieder gilt: $$ a_{n+1} \geq a_n $$ ($$ a_{n+1} \leq a_n $$). Bei streng monoton sind strenge Ungleichzeichen gemeint.

Beweise mittels Definition

Stellen Sie eine Vermutung bezüglich des Monotonieverhaltens der Folge auf und beweisen Sie sie mittels der Definition.

1. $$ a_n = \frac{1}{n} $$

   Lösung: monoton fallend
2. $$ a_n = \frac{8n}{n^2+1} $$

   Lösung: monoton fallend
3. $$ a_n = \frac{10n -7}{5+2n} $$

   Lösung: monoton wachsend
4. $$ a_n = \frac{2+n}{2n+3} $$

   Lösung: monoton fallend
5. $$ a_n = \frac{2n+1}{n+1} $$

   Lösung: monoton wachsend
6. $$ a_{n+1} = \frac{1}{4} a_n^2+1, \; a_1 = 1 $$

   Lösung: Siehe Glosauer Beispiel 4.20, S. 79

Beweise mittels Induktion

$$ a_{n+1} = \sqrt{5 a_n},\quad a_1 = 1 $$

zz: $$ a_n $$ wächst monoton

IA: $$ a_2 = \sqrt{5} > 1 = a_1 $$.

IV: $$ a_{n+1} > a_n $$

IS, $$ n \rightarrow n+1 $$: $$ a_{n+2} = \sqrt{5a_{n+1}} \stackrel{\textsf{IV}}{\geq} \sqrt{5a_n} = a_{n+1} $$

Übungen

1. $$ a_1 = 1,\; a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n} $$

   Lösung: Monoton wachsend. $<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1} \stackrel{\textsf{IV}}{&lt;} \sqrt{a_{n+1}+1} = a_{n+2}</span><script type="math/tex">a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1} \stackrel{\textsf{IV}}{<} \sqrt{a_{n+1}+1} = a_{n+2}$
2. Sehr schwierig: $$ a_n = (1+\frac{1}{n})^n $$ ist streng monoton wachsend. Tipp: Man braucht die Bernoulli-Ungleichung $$ (1+x)^n > 1+nx\; \text{(für}\; x \geq -1\text{)} $$