Betrags(un)gleichungen¶
Eine Betrags(un)gleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable in einem Betrag steht.
Beträge betragsfrei schreiben¶
Schreibe betragsfrei:
-
|x|
- $$ |x+2| $$ Lösung
-
|x|-1
Betragsfunktionen zeichnen¶
-
f(x) = |x|
-
f(x) = |x+2|
-
f(x) = ||x|-1|
Betrag(un)gleichungen mit einer Variable¶
Da du bei Betrags(un)gleichungen auch eine Fallunterscheidung machst, bei der du das x jeweils in einem eingeschränkten Bereicht betrachtest, musst du auch hier jeweils für deine Teillösung eine Probe machen.
$$ |x+2| = 3 $$¶
- Für $$ x+2 \geq 0 $$ also $$ x \geq -2 $$ gilt $$ x = 1 $$ und das ist $$ \geq -2$$.
- $$ x+2 < 0 $$ ergibt $$ x = -5 < - 2 $$.
Also ist $$ \mathbb{L} = { 1;-5 } $$ .
Veranschauliche die Gleichung und Lösung; und frage dich, welche Lösungsmenge $$ |x+2| < 3 $$ ergibt.
$$ |x-5| = |x| +2 $$¶
Betrachtet man die beiden Beträge für sich und kombiniert, ergeben sich drei Fälle:
-
x < 0
-
0 \leq x \leq 5
-
x > 5
Finde die Lösung zunächst zeichnerisch.
Gehe dann die drei Fälle durch.
Wenn du beim zweiten Fall die Probe vergessen hast, kneife dir hart in die linke Hand.
$$ |x-2| + |4-x| \leq x+1 $$¶
Finde die drei Fälle mit Hilfe eines Zahlenstrahls.
Beim ersten Fall ergibt sich $$ x \geq \frac{5}{3} $$ was zur ersten Teillösungsmenge $$ \mathbb{L} = [\frac{5}{3} ; 2] $$ führt.
Falls du alle $$ x \geq \frac{5}{3} $$ als Lösungsmenge besser findest, kneife dir in die linke Hand.
$$ |x+5| - |x+2| = x+3 $$¶
Schreibe $$ f(x) = |x+5| - |x+2| $$ betragsfrei.
Löse die Gleichung graphisch und rechnerisch.
Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn statt $$ = $$ ein $$ < $$ steht?
Übungen¶
- $$ |5x+2| = 3 $$$$ \mathbb{L} = { -1, \frac{1}{5} } $$
- $$ |5x+2| < 3 $$$$ \mathbb{L} = ( -1, \frac{1}{5} ) $$
- $$ |8x-2| > 5 $$$$ \mathbb{L} = \mathbb{R} \backslash [- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} ] $$
- $$ |8x-2| \leq 5 $$$$ \mathbb{L} = (- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} ) $$
- Buch Aufgabe 7.10 b
- Buch Aufgabe 7.9 b, c
- Buch Aufgabe 7.10 a
- Buch Aufgabe 7.11
Rechnung ohne Fallunterscheidung¶
Betragungleichungen mit zwei Variablen¶
$$ |x| + 2|y| \geq 4 $$¶
Finde eine Lösung. Woraus besteht jede Lösung? Und wie kann man sie veranschaulichen?
Fall 1: $$ x,y \geq 0 $$. Hier ergibt sich $$ y \geq - \frac{1}{2} x + 2 $$.
Beim Markieren der Lösungen müssen alle drei Gleichungen erfüllt sein, also liegen sie rechts der y-Achse, oberhalb der x-Achse und oberhalb der Geraden.
Bei den anderen Fällen geht man analog vor.