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Betrags(un)gleichungen

Eine Betrags(un)gleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable in einem Betrag steht.

Beträge betragsfrei schreiben

Schreibe betragsfrei:

  1. |x|
  2. $$ |x+2| $$ Lösung
  3. |x|-1

Betragsfunktionen zeichnen

  1. f(x) = |x|
  2. f(x) = |x+2|
  3. f(x) = ||x|-1|

Betrag(un)gleichungen mit einer Variable

Da du bei Betrags(un)gleichungen auch eine Fallunterscheidung machst, bei der du das x jeweils in einem eingeschränkten Bereicht betrachtest, musst du auch hier jeweils für deine Teillösung eine Probe machen.

$$ |x+2| = 3 $$

  1. Für $$ x+2 \geq 0 $$ also $$ x \geq -2 $$ gilt $$ x = 1 $$ und das ist $$ \geq -2$$.
  2. $$ x+2 < 0 $$ ergibt $$ x = -5 < - 2 $$.

Also ist $$ \mathbb{L} = { 1;-5 } $$ .

Veranschauliche die Gleichung und Lösung; und frage dich, welche Lösungsmenge $$ |x+2| < 3 $$ ergibt.

$$ |x-5| = |x| +2 $$

Betrachtet man die beiden Beträge für sich und kombiniert, ergeben sich drei Fälle:

  1. x < 0
  2. 0 \leq x \leq 5
  3. x > 5

Finde die Lösung zunächst zeichnerisch.

Gehe dann die drei Fälle durch.

Wenn du beim zweiten Fall die Probe vergessen hast, kneife dir hart in die linke Hand.

$$ |x-2| + |4-x| \leq x+1 $$

Finde die drei Fälle mit Hilfe eines Zahlenstrahls.

Beim ersten Fall ergibt sich $$ x \geq \frac{5}{3} $$ was zur ersten Teillösungsmenge $$ \mathbb{L} = [\frac{5}{3} ; 2] $$ führt.

Falls du alle $$ x \geq \frac{5}{3} $$ als Lösungsmenge besser findest, kneife dir in die linke Hand.

Insgesamt ergibt sich die Lösung
$$ \mathbb{L} = [\frac{5}{3} ; 7] $$.

$$ |x+5| - |x+2| = x+3 $$

Schreibe $$ f(x) = |x+5| - |x+2| $$ betragsfrei.

Löse die Gleichung graphisch und rechnerisch.

Lösung

Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn statt $$ = $$ ein $$ < $$ steht?

Lösung

Übungen

  • $$ |5x+2| = 3 $$
    $$ \mathbb{L} = { -1, \frac{1}{5} } $$
  • $$ |5x+2| < 3 $$
    $$ \mathbb{L} = ( -1, \frac{1}{5} ) $$
  • $$ |8x-2| > 5 $$
    $$ \mathbb{L} = \mathbb{R} \backslash [- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} ] $$
  • $$ |8x-2| \leq 5 $$
    $$ \mathbb{L} = (- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} ) $$
  • Buch Aufgabe 7.10 b
  • Buch Aufgabe 7.9 b, c
  • Buch Aufgabe 7.10 a
  • Buch Aufgabe 7.11

Rechnung ohne Fallunterscheidung

|5x+2| < 3
\Leftrightarrow -3 < 5x +2 < 3
\Leftrightarrow -5 < 5x < 1
\Leftrightarrow -1 < x < \frac{1}{5}
\Rightarrow \mathbb{L} = (-1; \frac{1}{5} )

Betragungleichungen mit zwei Variablen

$$ |x| + 2|y| \geq 4 $$

Finde eine Lösung. Woraus besteht jede Lösung? Und wie kann man sie veranschaulichen?

Fall 1: $$ x,y \geq 0 $$. Hier ergibt sich $$ y \geq - \frac{1}{2} x + 2 $$.

Beim Markieren der Lösungen müssen alle drei Gleichungen erfüllt sein, also liegen sie rechts der y-Achse, oberhalb der x-Achse und oberhalb der Geraden.

Bei den anderen Fällen geht man analog vor.

Lösung

Übungen

  • $$ |2x+1| + |y-1| \leq 5 $$ Lösung
  • $$ |x^2| + |y| \leq 5 $$ Lösung