Zum Inhalt

Bruchgleichungen

PL: Def und zwei Beispiele

Def.: Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der eine Variable im Nenner steht.

Die folgenden Beispiele in zwei Spalten aufschreiben. Beim leichten Beispiel Platz für Ergänzungen lassen.

Beispiel (leicht)

\frac{x}{2} = \frac{7}{4} + \frac{1}{x}

Beispiel (schwer)

\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x^2-1} = 1

Wir verwenden (ungeschickterweise) als Hauptnenner $$ (x+1)(x-1)(x^2-1) $$ .

[Lösungen der entstehenden Gleichung](http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B1%29(x%5E2-1%29%2B(x-1%29(x%5E2-1%29-(x%2B1%29(x-1%29%3D(x%2B1%29(x-1%29(x%5E2-1%29)

Finde das Problem!

[Lösung der Bruchgleichung](https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x-1%29%2B1%2F(x%2B1%29-1%2F(x%5E2-1%29+%3D+1)

Bemerkung

Eine Probe ist unbedingt nötig, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Dass das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, kann man sich an verschiedenen Beispielen klar machen, z.B.:

1) Klar ist: $$ -2 = 2 \Rightarrow \mathbb{L} = { } $$, aber

welche Lösungsmenge hat die quadrierte Gleichung?

2) Man sieht das auch daran, dass bei $$ x = 4 \Rightarrow x^2 = 16 $$ die Umkehrung wegen der zusätzlichen Lösung $$ x = -4 $$ nicht gilt.

3) Oder auch an $$ x^2 = -1 \stackrel{()^2}\Rightarrow x^4 = 1 $$.

Verfahren

  1. Definitionsmenge aufschreiben.
  2. Nenner von Variable befreien durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
  3. Die entstehende Gleichung lösen.
  4. Überprüfen, ob die gefundenen Lösungen in der Definitionsmenge (siehe 1.) sind.

Tricks

Trick zum Finden eines kleinen Hauptnenners: Alle Nenner faktorisieren, z.B. mit Bin 3 oder wie in der vorletzten Stunde.

Beispiel: $$ \frac{1}{x^3-4x} = \frac{1}{x(x-2)(x+2)} $$

Trick zum Anpassen der Produkte: Zähler und Nenner mit $$ -1 $$ multiplizieren.

\frac{1}{a-b} = \frac{-1}{-(a-b)} = \frac{-1}{b-a}

PA: Übungen

  • Buch Beispiel 7.9 b)
  • Buch Aufgabe 7.4 a)
  • $$ \frac{x-6}{x^2-x} + \frac{5}{x-1} = \frac{5}{x} $$
    Lösung: $$ \mathbb{L} = { } $$
  • $$ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+4} = \frac{7}{x^2+x-12} $$
    Lösung: $$ \mathbb{L} = \mathbb{R} \backslash {-4;3 } $$
  • $$ \frac{3}{x-1} \leq 1 $$ (Vorübung für die nächste Stunde)
    Lösung: Siehe Buch Beispiel 7.10

Bruchungleichungen

PL Obige Übung als Ungleichung

\frac{x-6}{x^2-x} + \frac{5}{x-1} > \frac{5}{x}

Im 1. Fall dürfen wollen wir die Ungleichung multiplizieren, ohne das Zeichen umzudrehen. Das dürfen wir wenn $$ x(x-1)>0 $$ $$ \Leftrightarrow (x>0 \wedge x>1) \vee (x<0 \wedge x<1)$$ $$ \Leftrightarrow x>1 \vee x<0 $$ Fassen wir die Terme zusammen und lösen nach x auf, ergibt sich $$ x>1 $$.

Insgesamt gilt für x also $$ (x>1 \vee x<0) \wedge x>1 $$, und damit ergibt sich für diesen Fall also $$ \mathbb{L_1} = (1;\infty) $$.

Beim 2. Fall bleibt $$ 0 < x < 1 $$ übrig und $$ x<1 $$. Also $$ \mathbb{L_2} = (0,1) $$.

Insgesamt also $$ \mathbb{L} = \mathbb{R}^{+} \backslash {1 } $$ .

Bemerkung

Die Lösungsmenge darf mit Hilfe des Zahlenstrahls markiert werden.

PA: Übungen